Use uma identidade de ângulo duplo para obter uma expressão para: cos 6 u em termos de cos u.

Passo 1

O enunciado pede uma expressão para cos(6u) em função de cos(u). Vamos usar duas identidades fundamentais:
– identidade de ângulo duplo
cos(2x)=2cos^2(x)-1
– identidade de ângulo triplo
cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)

Passo 2

Para garantir a identidade de ângulo triplo, derivamos-a via soma de ângulos:
cos(3u)=cos(2u+u)=cos(2u)cos(u)-sin(2u)sin(u)
Substituindo cos(2u)=2cos^2(u)-1 e sin(2u)=2sin(u)cos(u), fica
cos(3u)=(2cos^2(u)-1)cos(u)-2sin(u)cos(u)sin(u)
Como sin^2(u)=1-cos^2(u), obtemos
cos(3u)=2cos^3(u)-cos(u)-2(1-cos^2(u))cos(u)
cos(3u)=2cos^3(u)-cos(u)-2cos(u)+2cos^3(u)
cos(3u)=4cos^3(u)-3cos(u)

Passo 3

Agora aplicamos a identidade de ângulo duplo a 3u:
cos(6u)=cosl(2cdot3ur)=2cos^2(3u)-1

Passo 4

Substituímos cos(3u)=4cos^3(u)-3cos(u) em cos(6u):
cos(6u)=2l(4cos^3(u)-3cos(u)r)^2-1
Ao expandir o quadrado,
l(4cos^3(u)-3cos(u)r)^2=16cos^6(u)-24cos^4(u)+9cos^2(u),
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cos(6u)=2l(16cos^6(u)-24cos^4(u)+9cos^2(u)r)-1
cos(6u)=32cos^6(u)-48cos^4(u)+18cos^2(u)-1

Resposta

cos(6u)=32cos^6(u)-48cos^4(u)+18cos^2(u)-1

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