Note que às vezes é difícil localizar o erro em uma demonstração falsa por indução matemática, como ilustra o Exemplo 14.
EXEMPLO 14 Encontre o erro nesta “demonstração” de uma afirmação claramente falsa de que todo conjunto de retas em um plano, não paralelas duas a duas, encontram-se em um ponto comum.
“Demonstração”: Considere
P(n) como a proposição que afirma que todo conjunto de
n retas no plano, as quais não são paralelas duas a duas, encontram-se em um ponto comum. Vamos demonstrar que
P(n) é verdadeira para todos os números inteiros positivos
n \geq 2.
PASSO BASE: A proposição
P(2) é verdadeira, pois duas retas quaisquer no plano que não são paralelas encontram-se em um ponto comum (pela definição de retas paralelas).
PASSO DE INDUÇÃO: A hipótese indutiva é a proposição que afirma que
P(k) é verdadeira para todo número inteiro
k, ou seja, é a hipótese de que todo conjunto com
k retas no plano, das quais duas delas não são paralelas, encontram-se em um ponto comum. Para completar o passo de indução, devemos mostrar que se
P(k) é verdadeira, então
P(k+1) deve ser verdadeira também, ou seja, devemos mostrar que se todo conjunto de
k retas no plano, das quais duas delas não são paralelas, encontram-se em um ponto comum, então todo conjunto de
k+1 retas no plano, das quais duas delas não são paralelas, encontram-se em um ponto comum. Assim, considere um conjunto de
k+1 retas distintas no plano. Pela hipótese indutiva, as
k primeiras dessas retas encontram-se em um ponto comum
p_{1}. Além disso, pela hipótese indutiva, as
k últimas dessas retas encon-tram-se em um ponto comum
p_{2}. Mostraremos que
p_{1} e
p_{2} devem ser o mesmo ponto. Se
p_{1} e
p_{2} fossem pontos diferentes, todas as retas com ambos deveriam ser a mesma reta porque dois pontos determinam uma reta. Isso contradiz nossa hipótese de que todas essas retas são distintas. Assim,
p_{1} e
p_{2} são o mesmo ponto. Concluímos que o ponto
p_{1}=p_{2} para todas as
k+1 retas. Mostramos que
P(k+1) é verdadeira, assumindo que
P(k) seja verdadeira, ou seja, mostramos que se assumimos que todas as retas distintas
k, k \geq 2, encontram-se em um mesmo ponto, então todas as retas distintas
k+1 encontram-se em um ponto comum. Isso completa o passo de indução.
Completamos o passo base e o de indução e supostamente temos uma demonstração correta por indução matemática.
Solução: Examinando esta suposta demonstração por indução matemática, parece-nos que tudo está em ordem. Entretanto, há um erro particularmente sutil. Olhando com cuidado para o passo de indução, vemos que esse passo requer que
k \geq 3. Não podemos mostrar que
P(2) implica
P(3). Quando
k=2, nosso objetivo é mostrar que três retas distintas quaisquer encontram-se em um ponto comum. As primeiras duas retas encontram-se em um ponto comum
p_{1}, e as duas outras retas devem encontrarse em um ponto comum
p_{2}. Mas nesse caso,
p_{1} e
p_{2} não precisam ser o mesmo ponto, porque apenas a segunda reta é comum a ambos os conjuntos de retas. Aqui é onde o passo de indução falha.