Use a indução matemática para demonstrar as inequações nos exercícios 18 a 30.
Demonstre que 2^{n}>n^{2} se n for um número inteiro maior que 4.

Passo 1

Estamos mostrando, por indução matemática, que para todo inteiro n>4 vale
2^n > n^2.
O método de indução envolve dois passos: a verificação do caso base e o passo indutivo.

Passo 2

(Caso base) Para n=5 calculamos
2^5 = 32 \quad\text{e}\quad 5^2 = 25,
e de fato 32>25. Logo, a propriedade é verdadeira para n=5.

Passo 3

(Passo indutivo) Suponha que para algum inteiro k\ge5 já seja válida a hipótese indutiva
2^k > k^2.
Queremos mostrar que então vale
2^{k+1} > (k+1)^2.
Começamos usando a hipótese para obter
2^{k+1} \;=\;2\cdot 2^k \;>\;2\,k^2.
Basta agora verificar que
2\,k^2 > (k+1)^2.
Considere a diferença
2\,k^2 - (k+1)^2 = 2k^2 - (k^2 + 2k + 1) = k^2 - 2k - 1 = (k-1)^2 - 2.
Para k\ge5 temos (k-1)^2\ge4^2=16, então
(k-1)^2 - 2 \ge 16 - 2 = 14 > 0,
o que mostra
2\,k^2 > (k+1)^2.
Assim segue
2^{k+1} > (k+1)^2,
completando o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo inteiro n>4 vale
2^n > n^2.

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