Note que às vezes é difícil localizar o erro em uma demonstração falsa por indução matemática, como ilustra o Exemplo 14.
EXEMPLO 14 Encontre o erro nesta “demonstração” de uma afirmação claramente falsa de que todo conjunto de retas em um plano, não paralelas duas a duas, encontram-se em um ponto comum.
“Demonstração”: Considere
como a proposição que afirma que todo conjunto de
retas no plano, as quais não são paralelas duas a duas, encontram-se em um ponto comum. Vamos demonstrar que
é verdadeira para todos os números inteiros positivos
.
PASSO BASE: A proposição
é verdadeira, pois duas retas quaisquer no plano que não são paralelas encontram-se em um ponto comum (pela definição de retas paralelas).
PASSO DE INDUÇÃO: A hipótese indutiva é a proposição que afirma que
é verdadeira para todo número inteiro
, ou seja, é a hipótese de que todo conjunto com
retas no plano, das quais duas delas não são paralelas, encontram-se em um ponto comum. Para completar o passo de indução, devemos mostrar que se
é verdadeira, então
deve ser verdadeira também, ou seja, devemos mostrar que se todo conjunto de
retas no plano, das quais duas delas não são paralelas, encontram-se em um ponto comum, então todo conjunto de
retas no plano, das quais duas delas não são paralelas, encontram-se em um ponto comum. Assim, considere um conjunto de
retas distintas no plano. Pela hipótese indutiva, as
primeiras dessas retas encontram-se em um ponto comum
. Além disso, pela hipótese indutiva, as
últimas dessas retas encon-tram-se em um ponto comum
. Mostraremos que
e
devem ser o mesmo ponto. Se
e
fossem pontos diferentes, todas as retas com ambos deveriam ser a mesma reta porque dois pontos determinam uma reta. Isso contradiz nossa hipótese de que todas essas retas são distintas. Assim,
e
são o mesmo ponto. Concluímos que o ponto
para todas as
retas. Mostramos que
é verdadeira, assumindo que
seja verdadeira, ou seja, mostramos que se assumimos que todas as retas distintas
, encontram-se em um mesmo ponto, então todas as retas distintas
encontram-se em um ponto comum. Isso completa o passo de indução.
Completamos o passo base e o de indução e supostamente temos uma demonstração correta por indução matemática.
Solução: Examinando esta suposta demonstração por indução matemática, parece-nos que tudo está em ordem. Entretanto, há um erro particularmente sutil. Olhando com cuidado para o passo de indução, vemos que esse passo requer que
. Não podemos mostrar que
implica
. Quando
, nosso objetivo é mostrar que três retas distintas quaisquer encontram-se em um ponto comum. As primeiras duas retas encontram-se em um ponto comum
, e as duas outras retas devem encontrarse em um ponto comum
. Mas nesse caso,
e
não precisam ser o mesmo ponto, porque apenas a segunda reta é comum a ambos os conjuntos de retas. Aqui é onde o passo de indução falha.
Exercícios
- Há “infinitas” estações em uma rota de trem. Suponha que o trem pare na primeira estação e que, se ele pára em uma estação, pára também na próxima. Mostre que o trem pára em todas as estações.
- Suponha que você saiba que um jogador de golfe acerta o primeiro buraco de uma seqüência com um número infinito de buracos, e que, se esse jogador acertar um buraco, então acertará o próximo também. Demonstre que esse jogador acerta todos os buracos da seqüência.
Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
- Considere
como a proposição de que
para todo número inteiro positivo
.
a) Qual é a proposição
?
b) Mostre que
é verdadeira, completando o passo base da demonstração.
c) Qual é a hipótese indutiva?
d) O que você precisa para demonstrar o passo de indução?
“Demonstração”: Considere
PASSO BASE: A proposição
PASSO DE INDUÇÃO: A hipótese indutiva é a proposição que afirma que
Solução: Examinando esta suposta demonstração por indução matemática, parece-nos que tudo está em ordem. Entretanto, há um erro particularmente sutil. Olhando com cuidado para o passo de indução, vemos que esse passo requer que
Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
a) Qual é a proposição
b) Mostre que
c) Qual é a hipótese indutiva?
d) O que você precisa para demonstrar o passo de indução?
Passo 1
O enunciado define
como a proposição
e pede que usemos indução matemática para os itens (a)–(d) referentes a
e ao passo de indução.
Passo 2
Para (a) e (b) tratamos do passo base
.
A proposição afirma que
A proposição
O lado esquerdo vale
. O lado direito vale
Logo,
é verdadeira.
Passo 3
Para (c), a hipótese indutiva consiste em assumir que, para um inteiro
,
Passo 4
Para (d), no passo de indução precisamos mostrar que essa hipótese implica
Resposta
(a)
é a afirmação
(b) Verifica-se que
e
, logo
é verdadeira.
(c) A hipótese indutiva é assumir que
(c) A hipótese indutiva é assumir que
(d) Precisa-se demonstrar que, sob essa hipótese,