Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
a) Encontre uma fórmula para
\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}
examinando os valores dessa expressão para pequenos valores de n.
b) Demonstre a fórmula que você conjecturou no item (a).

Passo 1

O enunciado pede, no item (a), que a partir dos valores de
S(n)=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}
para pequenos n a gente conjecture uma fórmula fechada. No item (b) devemos provar essa fórmula por indução matemática.

Passo 2

Vamos calcular S(n) para n=1,2,3,4:
S(1)=\frac{1}{1\cdot2}=\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2},
S(2)=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3} =\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2+1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=\;1-\frac{1}{3},
S(3)=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12} =\frac{6+2+1}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}=1-\frac{1}{4},
S(4)=S(3)+\frac{1}{4\cdot5} =\frac{3}{4}+\frac{1}{20}=\frac{15+1}{20}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}=1-\frac{1}{5}.

Passo 3

Observando os resultados, parece que
S(n)=1-\frac{1}{n+1}.
Esta é a nossa conjectura para o item (a).

Passo 4

Base da indução n=1.
O lado esquerdo é
S(1)=\frac{1}{1\cdot2}=\frac{1}{2},
e o lado direito da fórmula conjecturada é
1-\frac{1}{1+1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Logo vale para n=1.

Passo 5

Passo indutivo. Suponha que para algum n\ge1 valha
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = 1-\frac{1}{n+1}.
Então, para n+1,
\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}.
Pela hipótese de indução:
= \Bigl(1-\frac{1}{n+1}\Bigr) + \frac{1}{(n+1)(n+2)} =1 - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}.
Colocando sobre um único denominador:
-\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = -\frac{n+2}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = -\frac{n+1}{(n+1)(n+2)} = -\frac{1}{n+2}.
Logo
\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)} =1 - \frac{1}{n+2},
que é exatamente a fórmula para n+1. Assim o passo indutivo está concluído.

Passo 6

Pelo princípio da indução matemática, a fórmula
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = 1-\frac{1}{n+1}
vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} =1-\frac{1}{n+1}.

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