Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
a) Encontre uma fórmula para
examinando os valores dessa expressão para pequenos valores de
.
b) Demonstre a fórmula que você conjecturou no item (a).
a) Encontre uma fórmula para
b) Demonstre a fórmula que você conjecturou no item (a).
Passo 1
O enunciado pede, no item (a), que a partir dos valores de
para pequenos
a gente conjecture uma fórmula fechada. No item (b) devemos provar essa fórmula por indução matemática.
Passo 2
Vamos calcular
para
:
Passo 3
Observando os resultados, parece que
Esta é a nossa conjectura para o item (a).
Passo 4
Base da indução
.
O lado esquerdo é
O lado esquerdo é
e o lado direito da fórmula conjecturada é
Logo vale para
.
Passo 5
Passo indutivo. Suponha que para algum
valha
Então, para
,
Pela hipótese de indução:
Colocando sobre um único denominador:
Logo
que é exatamente a fórmula para
. Assim o passo indutivo está concluído.
Passo 6
Pelo princípio da indução matemática, a fórmula
vale para todo
.