Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
Demonstre que 1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+\cdots+n \cdot n!=(n+1)!-1 sempre que n for um número inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo número inteiro positivo n vale
1\cdot1! + 2\cdot2! + \cdots + n\cdot n! \;=\;(n+1)! - 1.
O conteúdo envolvido é prova por indução, que consiste em verificar um caso base e depois mostrar que, se a fórmula vale para n, então vale para n+1.

Passo 2

Base de indução n=1.
À esquerda temos
1\cdot1! = 1,
e à direita
(1+1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1.
Logo, a igualdade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução.
Suponha que para algum n\ge1 já esteja válida a igualdade
1\cdot1! + 2\cdot2! + \cdots + n\cdot n! \;=\;(n+1)! - 1.

Passo 4

Passo de indução n\to n+1.
Consideramos a soma até n+1:
1\cdot1! + \cdots + n\cdot n! + (n+1)\,(n+1)!.
Pelo que supomos na hipótese de indução, isso é
\bigl[(n+1)! - 1\bigr] + (n+1)\,(n+1)! = (n+1)!\bigl[1 + (n+1)\bigr] - 1 = (n+1)!\,(n+2) - 1 = (n+2)! - 1.
Portanto, se a fórmula vale para n, ela vale também para n+1.

Passo 5

Concluímos, por indução matemática, que para todo inteiro positivo n se tem
1\cdot1! + 2\cdot2! + \cdots + n\cdot n! = (n+1)! - 1.

Resposta

1\cdot1! + 2\cdot2! + \cdots + n\cdot n! = (n+1)! - 1.

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