Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
Demonstre que
sempre que
for um número inteiro positivo.
Demonstre que
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo número inteiro positivo
vale
O conteúdo envolvido é prova por indução, que consiste em verificar um caso base e depois mostrar que, se a fórmula vale para
, então vale para
.
Passo 2
Base de indução
.
À esquerda temos
À esquerda temos
e à direita
Logo, a igualdade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução.
Suponha que para algum já esteja válida a igualdade
Suponha que para algum
Passo 4
Passo de indução
.
Consideramos a soma até :
Consideramos a soma até
Pelo que supomos na hipótese de indução, isso é
Portanto, se a fórmula vale para
, ela vale também para
.
Passo 5
Concluímos, por indução matemática, que para todo inteiro positivo
se tem