Use a indução matemática para demonstrar as inequações nos exercícios 18 a 30.
*30. Demonstre que
.
*30. Demonstre que
Passo 1
O enunciado pede que demonstremos, por indução matemática, a identidade envolvendo números harmônicos
mais precisamente
O conteúdo principal é o princípio da indução e manipulação algébrica de somatórios.
Passo 2
Base da indução
.
Calculamos o lado esquerdo e o direito para :
Calculamos o lado esquerdo e o direito para
e
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução.
Suponha que, para algum , seja verdadeira a fórmula
Suponha que, para algum
Passo 4
Passo de indução
.
Começamos por escrever
Começamos por escrever
Pela hipótese de indução,
Como
, segue
Agora substituímos
:
que é exatamente a fórmula para
:
Passo 5
Concluímos que, por indução matemática, a identidade
é verdadeira para todo
.
Resposta
Para todo
, vale