Use a indução matemática para demonstrar as inequações nos exercícios 18 a 30.
*30. Demonstre que H_{1}+H_{2}+\cdots+H_{n}=(n+1) H_{n}-n.

Passo 1

O enunciado pede que demonstremos, por indução matemática, a identidade envolvendo números harmônicos
H_n = 1 + \frac12 + \cdots + \frac1n,
mais precisamente
H_{1} + H_{2} + \cdots + H_{n} = (n+1)\,H_{n} \;-\; n.
O conteúdo principal é o princípio da indução e manipulação algébrica de somatórios.

Passo 2

Base da indução n=1.
Calculamos o lado esquerdo e o direito para n=1:
\sum_{k=1}^{1}H_{k} = H_{1} = 1,
e
(1+1)\,H_{1} - 1 = 2\cdot 1 - 1 = 1.
Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução.
Suponha que, para algum n\ge1, seja verdadeira a fórmula
\sum_{k=1}^{n}H_{k} = (n+1)\,H_{n} \;-\; n.

Passo 4

Passo de indução n\to n+1.
Começamos por escrever
\sum_{k=1}^{n+1}H_{k} = \sum_{k=1}^{n}H_{k} \;+\; H_{n+1}.
Pela hipótese de indução,
\sum_{k=1}^{n+1}H_{k} = (n+1)\,H_{n} - n \;+\; H_{n+1}.
Como \;H_{n+1}=H_{n}+\tfrac1{n+1}, segue
\sum_{k=1}^{n+1}H_{k} = (n+1)\,H_{n} - n + H_{n} + \tfrac1{n+1} = (n+2)\,H_{n} - n + \tfrac1{n+1}.
Agora substituímos H_{n}=H_{n+1}-\tfrac1{n+1}:
(n+2)\bigl(H_{n+1}-\tfrac1{n+1}\bigr) - n + \tfrac1{n+1} = (n+2)\,H_{n+1} - (n+1),
que é exatamente a fórmula para n+1:
\sum_{k=1}^{n+1}H_{k} = (n+2)\,H_{n+1} - (n+1).

Passo 5

Concluímos que, por indução matemática, a identidade
H_{1} + H_{2} + \cdots + H_{n} = (n+1)\,H_{n} - n
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, vale
H_{1} + H_{2} + \cdots + H_{n} = (n+1)\,H_{n} - n.

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