Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
Demonstre que
sempre que
for um número inteiro não negativo.
Demonstre que
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo inteiro não negativo
vale
O conteúdo aqui é a técnica de indução e também o reconhecimento de uma soma de progressão geométrica de razão
.
Passo 2
Base da indução
.
O lado esquerdo é
O lado esquerdo é
O lado direito é
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que para algum
seja verdade que
Precisamos mostrar que então vale também para
.
Passo 4
Calcamos a soma até
:
Pela hipótese indutiva, o primeiro termo é
. Assim,
No numerador:
Portanto
que é exatamente a fórmula para
.
Passo 5
Concluímos que, por indução, a identidade vale para todo inteiro
.