Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
Demonstre que
\sum_{j=0}^{n}\left(-\frac{1}{2}\right)^{j}=\frac{2^{n+1}+(-1)^{n}}{3 \cdot 2^{n}}
sempre que n for um número inteiro não negativo.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo inteiro não negativo n vale
\sum_{j=0}^{n}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{j} =\frac{2^{n+1}+(-1)^{n}}{3\cdot 2^{n}}.
O conteúdo aqui é a técnica de indução e também o reconhecimento de uma soma de progressão geométrica de razão -\tfrac12.

Passo 2

Base da indução n=0.
O lado esquerdo é
\sum_{j=0}^{0}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{j} =\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{0}=1.
O lado direito é
\frac{2^{0+1}+(-1)^{0}}{3\cdot 2^{0}} =\frac{2+1}{3\cdot 1} =1.
Logo, a fórmula vale para n=0.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que para algum k\ge0 seja verdade que
\sum_{j=0}^{k}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{j} =\frac{2^{k+1}+(-1)^{k}}{3\cdot 2^{k}}.
Precisamos mostrar que então vale também para n=k+1.

Passo 4

Calcamos a soma até k+1:
\sum_{j=0}^{k+1}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{j} =\sum_{j=0}^{k}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{j} +\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{k+1}.
Pela hipótese indutiva, o primeiro termo é \tfrac{2^{k+1}+(-1)^{k}}{3\cdot 2^{k}}. Assim,
\frac{2^{k+1}+(-1)^{k}}{3\cdot 2^{k}} +\frac{(-1)^{k+1}}{2^{\,k+1}} =\frac{2\bigl(2^{k+1}+(-1)^{k}\bigr)}{3\cdot 2^{\,k+1}} +\frac{3\,(-1)^{k+1}}{3\cdot 2^{\,k+1}}.
No numerador:
2^{k+2}+2(-1)^{k}+3(-1)^{k+1} =2^{k+2}+2(-1)^{k}-3(-1)^{k} =2^{k+2}+(-1)^{k+1}.
Portanto
\sum_{j=0}^{k+1}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{j} =\frac{2^{k+2}+(-1)^{k+1}}{3\cdot 2^{\,k+1}},
que é exatamente a fórmula para n=k+1.

Passo 5

Concluímos que, por indução, a identidade vale para todo inteiro n\ge0.

Resposta

\sum_{j=0}^{n}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{j} =\frac{2^{n+1}+(-1)^{n}}{3\cdot 2^{n}}, \quad\forall n\in\mathbb{Z}_{\ge0}.

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