Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
Demonstre que 2-2 \cdot 7+2 \cdot 7^{2}-\cdots+2(-7)^{n}=(1- \left.(-7)^{n+1}\right) / 4 sempre que n for um número inteiro não negativo.

Passo 1

O enunciado pede para usar indução matemática e mostrar que, para todo inteiro não negativo n, vale
S(n)=2 - 2\cdot7 + 2\cdot7^2 - \cdots + 2(-7)^n = \frac{1-(-7)^{n+1}}{4}.
Aqui o conteúdo é o princípio de indução: primeiro verificamos o caso base n=0, depois assumimos que a fórmula vale para um n genérico e provamos que ela vale para n+1.

Passo 2

(Caso base) Para n=0 temos
S(0)=2(-7)^0=2.
Por outro lado, a fórmula dá
\frac{1-(-7)^{0+1}}{4}=\frac{1-(-7)}{4}=\frac{1+7}{4}=\frac{8}{4}=2.
Logo, S(0)=2 coincide com \frac{1-(-7)^{1}}{4}, e o caso base está ok.

Passo 3

(Passo indutivo) Suponha que para algum n\ge0 valha
S(n)=\sum_{k=0}^{n}2(-7)^k=\frac{1-(-7)^{n+1}}{4}.
Então, para n+1 temos
S(n+1)=S(n)+2(-7)^{n+1} =\frac{1-(-7)^{n+1}}{4}+2(-7)^{n+1}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 4,
S(n+1) =\frac{1-(-7)^{n+1}+8(-7)^{n+1}}{4} =\frac{1+7(-7)^{n+1}}{4}.
Como (-7)^{n+2}=(-7)\cdot(-7)^{n+1}=-7(-7)^{n+1}, temos
1+7(-7)^{n+1}=1-(-7)^{n+2},
ou seja
S(n+1)=\frac{1-(-7)^{(n+1)+1}}{4},
que é exatamente a fórmula para n+1. Assim, o passo indutivo está concluído.

Resposta

Para todo inteiro não negativo n,
2 - 2\cdot7 + 2\cdot7^2 - \cdots + 2(-7)^n = \frac{1-(-7)^{n+1}}{4}.

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