Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
Demonstre que
sempre que
for um número inteiro não negativo.
Demonstre que
Passo 1
O enunciado pede para usar indução matemática e mostrar que, para todo inteiro não negativo
, vale
Aqui o conteúdo é o princípio de indução: primeiro verificamos o caso base
, depois assumimos que a fórmula vale para um
genérico e provamos que ela vale para
.
Passo 2
(Caso base) Para
temos
Por outro lado, a fórmula dá
Logo,
coincide com
, e o caso base está ok.
Passo 3
(Passo indutivo) Suponha que para algum
valha
Então, para
temos
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 4,
Como
, temos
ou seja
que é exatamente a fórmula para
. Assim, o passo indutivo está concluído.
Resposta
Para todo inteiro não negativo
,