Use a indução matemática para demonstrar as inequações nos exercícios 18 a 30.
Para quais números inteiros não negativos
é
!? Demonstre sua resposta.
Para quais números inteiros não negativos
Passo 1
O enunciado nos pede para determinar todos os inteiros não negativos
tais que
usando indução matemática. O conteúdo é comparação de crescimento de funções (fatorial versus polinomial) e técnica de prova por indução.
Passo 2
Vamos testar diretamente pequenos valores de
:
Para :
e
, logo
(verdadeiro).
Para :
e
, logo
(verdadeiro).
Para :
e
, logo
(falso).
Para :
e
, logo
(falso).
Para :
e
, logo
(verdadeiro).
Para
Para
Para
Para
Para
Passo 3
Concluímos que a desigualdade falha em
e
mas vale em
. Observamos que para
parece permanecer verdadeira, mas precisamos provar isso formalmente por indução a partir de
.
Passo 4
Prova por indução para todo
.
Base
: já vimos que
Hipótese indutiva: suponha que para algum
valha
Passo indutivo: queremos mostrar
Usando a hipótese, temos
Por outro lado,
Para
verifica‐se
ou seja,
Isso completa o passo indutivo.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira exatamente para os inteiros não negativos
e para todo