Use a indução matemática para demonstrar as inequações nos exercícios 18 a 30.
Para quais números inteiros não negativos n é n^{2} \leq n !? Demonstre sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar todos os inteiros não negativos n tais que
n^2 \le n!
usando indução matemática. O conteúdo é comparação de crescimento de funções (fatorial versus polinomial) e técnica de prova por indução.

Passo 2

Vamos testar diretamente pequenos valores de n:
Para n=0: 0^2=0 e 0!=1, logo 0\le1 (verdadeiro).
Para n=1: 1^2=1 e 1!=1, logo 1\le1 (verdadeiro).
Para n=2: 2^2=4 e 2!=2, logo 4\le2 (falso).
Para n=3: 3^2=9 e 3!=6, logo 9\le6 (falso).
Para n=4: 4^2=16 e 4!=24, logo 16\le24 (verdadeiro).

Passo 3

Concluímos que a desigualdade falha em n=2 e n=3 mas vale em n=0,1,4. Observamos que para n\ge4 parece permanecer verdadeira, mas precisamos provar isso formalmente por indução a partir de n=4.

Passo 4

Prova por indução para todo n\ge4.
Base n=4: já vimos que
4^2 = 16 \le 24 = 4!.
Hipótese indutiva: suponha que para algum k\ge4 valha
k^2 \le k!.
Passo indutivo: queremos mostrar
(k+1)^2 \le (k+1)!.
Usando a hipótese, temos
(k+1)! = (k+1)\,k! \ge (k+1)\,k^2 = k^3 + k^2.
Por outro lado,
(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1.
Para k\ge4 verifica‐se
k^3 + k^2 - (k^2 + 2k + 1) = k^3 -2k -1 = k(k^2 -2) -1 \ge 4\cdot14 -1 =55 >0,
ou seja,
(k+1)! \ge k^3 + k^2 > k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2.
Isso completa o passo indutivo.

Resposta

A desigualdade n^2 \le n! é verdadeira exatamente para os inteiros não negativos
n = 0,\,1
e para todo n \ge 4.

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