Use a indução matemática para demonstrar as inequações nos exercícios 18 a 30.
Demonstre que 3^{n}<n! se n for um número inteiro maior que 6 .

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo inteiro n>6 vale
3^n < n!.
O conteúdo utilizado será o princípio de indução: base e passo indutivo.

Passo 2

Base de indução n=7. Calculamos
3^7 = 2187
e
7! = 5040.
Como 2187 < 5040, a propriedade é verdadeira para n=7.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para um certo inteiro k\ge7 já tenhamos
3^k < k!.

Passo 4

Passo indutivo. Mostramos que a partir de 3^k < k! segue
3^{k+1} < (k+1)!.
De fato,
3^{k+1} = 3\cdot 3^k < 3\cdot k!.
Como k\ge7 implica k+1>3, temos
3\cdot k! < (k+1)\cdot k! = (k+1)!.
Portanto
3^{k+1} < (k+1)!,
concluindo o passo indutivo.

Resposta

Por indução, fica demonstrado que para todo inteiro n>6 vale 3^n < n!.

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