Use a indução matemática para demonstrar as inequações nos exercícios 18 a 30.
Considere
como a proposição de que
,
em que
é um número inteiro maior que 1.
a) Qual é a proposição
?
b) Mostre que
é verdadeira, completando o passo base da demonstração.
c) Qual é a hipótese indutiva?
d) O que você precisa para demonstrar o passo de indução?
e) Complete o passo de indução.
f) Explique por que esses passos mostram que a inequação é verdadeira sempre que
for um número inteiro maior que 1.
Considere
em que
a) Qual é a proposição
b) Mostre que
c) Qual é a hipótese indutiva?
d) O que você precisa para demonstrar o passo de indução?
e) Complete o passo de indução.
f) Explique por que esses passos mostram que a inequação é verdadeira sempre que
Passo 1
O enunciado define a proposição por indução
para inteiro
.
Vamos usar indução matemática, que envolve um passo base e um passo indutivo.
Vamos usar indução matemática, que envolve um passo base e um passo indutivo.
Passo 2
Passo base: obter
substituindo
em
. Assim
Passo 3
Verificação do passo base:
logo
. Portanto
é verdadeira.
Passo 4
Hipótese indutiva: suponha que
seja verdadeira para algum inteiro
, isto é,
Passo 5
Para o passo de indução, precisamos provar
, ou seja
Usaremos a hipótese indutiva para comparar o somatório parcial com o lado direito desejado.
Passo 6
Pela hipótese indutiva,
Basta então mostrar
Subtraindo
e rearranjando, obtemos
Isso equivale a
que é sempre verdadeiro. Logo o passo de indução está completo.
Passo 7
Como
é verdadeira e de
segue-se
, concluímos por indução que
vale para todo inteiro
(ou seja, sempre que
).
Resposta
a)
é
b) Calculando,
, logo
é verdadeira.
c) Hipótese indutiva:
c) Hipótese indutiva:
d) Precisamos provar
e) Aplicando a hipótese e verificando
leva a
, completando o passo indutivo.
f) Pelo passo base e pela regra de indução, é verdadeira para todo inteiro
.
f) Pelo passo base e pela regra de indução,