Use a indução matemática para demonstrar as inequações nos exercícios 18 a 30.
Considere P(n) como a proposição de que
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{n^{2}}<2-\frac{1}{n},
em que n é um número inteiro maior que 1.
a) Qual é a proposição P(2) ?
b) Mostre que P(2) é verdadeira, completando o passo base da demonstração.
c) Qual é a hipótese indutiva?
d) O que você precisa para demonstrar o passo de indução?
e) Complete o passo de indução.
f) Explique por que esses passos mostram que a inequação é verdadeira sempre que n for um número inteiro maior que 1.

Passo 1

O enunciado define a proposição por indução
P(n):\;1+\frac1{4}+\frac1{9}+\cdots+\frac1{n^2}<2-\frac1n,
para inteiro n>1.
Vamos usar indução matemática, que envolve um passo base e um passo indutivo.

Passo 2

Passo base: obter P(2) substituindo n=2 em P(n). Assim
P(2):\;1+\frac1{4}<2-\frac12.

Passo 3

Verificação do passo base:
1+\frac1{4}=\frac54=1{,}25 \quad\text{e}\quad 2-\frac12=\frac32=1{,}5,
logo \frac54<\frac32. Portanto P(2) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese indutiva: suponha que P(k) seja verdadeira para algum inteiro k\ge2, isto é,
1+\frac1{4}+\cdots+\frac1{k^2}<2-\frac1{k}.

Passo 5

Para o passo de indução, precisamos provar P(k+1), ou seja
1+\frac1{4}+\cdots+\frac1{k^2}+\frac1{(k+1)^2}<2-\frac1{k+1}.
Usaremos a hipótese indutiva para comparar o somatório parcial com o lado direito desejado.

Passo 6

Pela hipótese indutiva,
1+\frac1{4}+\cdots+\frac1{k^2}+\frac1{(k+1)^2} <\Bigl(2-\frac1{k}\Bigr)+\frac1{(k+1)^2}.
Basta então mostrar
2-\frac1{k}+\frac1{(k+1)^2}\le2-\frac1{k+1}.
Subtraindo 2 e rearranjando, obtemos
-\frac1{k}+\frac1{(k+1)^2}\le-\frac1{k+1} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac1{(k+1)^2}\le\frac1{k}-\frac1{k+1} =\frac1{k(k+1)}.
Isso equivale a
k(k+1)\le(k+1)^2 \quad\Longleftrightarrow\quad k\le k+1,
que é sempre verdadeiro. Logo o passo de indução está completo.

Passo 7

Como P(2) é verdadeira e de P(k) segue-se P(k+1), concluímos por indução que P(n) vale para todo inteiro n\ge2 (ou seja, sempre que n>1).

Resposta

a) P(2) é
1+\frac1{4}<2-\frac12.
b) Calculando, \frac54=1{,}25<1{,}5=\frac32, logo P(2) é verdadeira.
c) Hipótese indutiva:
1+\frac1{4}+\cdots+\frac1{k^2}<2-\frac1{k} \quad\text{para algum inteiro }k\ge2.
d) Precisamos provar
1+\frac1{4}+\cdots+\frac1{k^2}+\frac1{(k+1)^2}<2-\frac1{k+1}.
e) Aplicando a hipótese e verificando
2-\frac1{k}+\frac1{(k+1)^2}\le2-\frac1{k+1}
leva a k\le k+1, completando o passo indutivo.
f) Pelo passo base e pela regra de indução, P(n) é verdadeira para todo inteiro n>1.

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