Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
a) Encontre uma fórmula para a soma dos primeiros n números inteiros positivos e pares.
b) Demonstre a fórmula que você conjecturou no item (a).
Passo 1
O enunciado quer que a gente ache uma fórmula fechada para
S_n = 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n
ou seja, a soma dos n primeiros inteiros positivos e pares, e em seguida prove essa fórmula usando indução matemática. Para isso vamos usar o conceito de progressão aritmética (PA) e o princípio de indução: verificar o caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Observando que cada termo é o dobro do índice, podemos escrever
S_n = \sum_{k=1}^{n} 2k = 2\sum_{k=1}^{n}k.
E como já se conhece a soma dos n primeiros inteiros
\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2},
conjecturamos
S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1).
Passo 3
Caso base n=1:
S_1 = 2
e pela fórmula conjecturada
n(n+1)\bigl|_{n=1} = 1\cdot2 = 2.
Portanto, a fórmula vale para n=1.
Passo 4
Passo indutivo: suponha que a fórmula seja válida para n=k, isto é,