Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
a) Encontre uma fórmula para a soma dos primeiros n números inteiros positivos e pares.
b) Demonstre a fórmula que você conjecturou no item (a).

Passo 1

O enunciado quer que a gente ache uma fórmula fechada para
S_n = 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n
ou seja, a soma dos n primeiros inteiros positivos e pares, e em seguida prove essa fórmula usando indução matemática. Para isso vamos usar o conceito de progressão aritmética (PA) e o princípio de indução: verificar o caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Observando que cada termo é o dobro do índice, podemos escrever
S_n = \sum_{k=1}^{n} 2k = 2\sum_{k=1}^{n}k.
E como já se conhece a soma dos n primeiros inteiros
\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2},
conjecturamos
S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1).

Passo 3

Caso base n=1:
S_1 = 2
e pela fórmula conjecturada
n(n+1)\bigl|_{n=1} = 1\cdot2 = 2.
Portanto, a fórmula vale para n=1.

Passo 4

Passo indutivo: suponha que a fórmula seja válida para n=k, isto é,
S_k = 2 + 4 + \cdots + 2k = k(k+1).
Precisamos mostrar que vale para n=k+1. Note que
S_{k+1} = S_k + 2(k+1).
Pela hipótese indutiva S_k = k(k+1), temos
S_{k+1} = k(k+1) + 2(k+1) = \bigl(k + 2\bigr)\,(k+1) = (k+1)\,(k+2).
Isto é exatamente a fórmula com n=k+1.

Resposta

\boxed{2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n(n+1).}

Exercícios de Livros Relacionados