Use a indução matemática para mostrar que
sempre que
for um número inteiro positivo. (Aqui,
é a raiz quadrada de -1 .) [Dica: Use a identidade
e
.]
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, a fórmula de De Moivre:
Para isso precisamos usar o passo-base (caso
) e o passo de indução (assumir a fórmula para
e mostrar para
), além das identidades trigonométricas
Passo 2
( Passo-base ) Para
temos
que coincide com
. Logo a fórmula vale para
.
Passo 3
( Hipótese de indução ) Suponha que para algum
valha
Passo 4
( Passo de indução ) Então para
temos
Pela hipótese de indução isso é
Fazendo o produto e lembrando que
:
Pelas identidades trigonométricas reconhecemos
Logo
Passo 5
Concluímos que, tendo o caso
e provado que a validade para
implica validade para
, a fórmula vale para todo
.
Resposta
para todo inteiro positivo
.