Use a indução matemática para mostrar que (\cos x+i \operatorname{sen} x)^{n} =\cos n x+i \operatorname{sen} n x sempre que n for um número inteiro positivo. (Aqui, i é a raiz quadrada de -1 .) [Dica: Use a identidade \cos (a+b)=\cos a \cos b-\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b e \operatorname{sen}(a+b) =\operatorname{sen} a \cos b+\cos a \operatorname{sen} b.]

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n\in\mathbb{N}, a fórmula de De Moivre:
(\cos x + i\operatorname{sen} x)^{n} \;=\;\cos(nx) + i\operatorname{sen}(nx).
Para isso precisamos usar o passo-base (caso n=1) e o passo de indução (assumir a fórmula para n=k e mostrar para n=k+1), além das identidades trigonométricas
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b, \quad \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen} a\cos b+\cos a\operatorname{sen} b.

Passo 2

( Passo-base ) Para n=1 temos
(\cos x + i\operatorname{sen} x)^{1} = \cos x + i\operatorname{sen} x,
que coincide com \cos(1\cdot x)+i\operatorname{sen}(1\cdot x). Logo a fórmula vale para n=1.

Passo 3

( Hipótese de indução ) Suponha que para algum k\in\mathbb{N} valha
(\cos x + i\operatorname{sen} x)^{k} = \cos(kx) + i\operatorname{sen}(kx).

Passo 4

( Passo de indução ) Então para n=k+1 temos
(\cos x + i\operatorname{sen} x)^{k+1} =(\cos x + i\operatorname{sen} x)^{k}\,(\cos x + i\operatorname{sen} x).
Pela hipótese de indução isso é
\bigl(\cos(kx)+i\operatorname{sen}(kx)\bigr)\,(\cos x + i\operatorname{sen} x).
Fazendo o produto e lembrando que i^2=-1:
\begin{aligned} &\cos(kx)\cos x + i\,\cos(kx)\operatorname{sen} x + i\,\operatorname{sen}(kx)\cos x - \operatorname{sen}(kx)\operatorname{sen} x \\\ &\quad=\bigl[\cos(kx)\cos x-\operatorname{sen}(kx)\operatorname{sen} x\bigr] +i\bigl[\operatorname{sen}(kx)\cos x+\cos(kx)\operatorname{sen} x\bigr]. \end{aligned}
Pelas identidades trigonométricas reconhecemos
\cos((k+1)x)=\cos(kx)\cos x-\operatorname{sen}(kx)\operatorname{sen} x, \quad \operatorname{sen}((k+1)x)=\operatorname{sen}(kx)\cos x+\cos(kx)\operatorname{sen} x.
Logo
(\cos x + i\operatorname{sen} x)^{k+1} =\cos\bigl((k+1)x\bigr)+i\operatorname{sen}\bigl((k+1)x\bigr).

Passo 5

Concluímos que, tendo o caso n=1 e provado que a validade para n=k implica validade para n=k+1, a fórmula vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

(\cos x + i\operatorname{sen} x)^{n} = \cos(nx) + i\operatorname{sen}(nx),
para todo inteiro positivo n.

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