*17. Determine quais números de Fibonacci são pares e use uma forma da indução matemática para demonstrar sua conjectura.

Passo 1

O enunciado quer saber quais termos da sequência de Fibonacci são pares e pede para provar essa propriedade por indução. A sequência de Fibonacci é definida por
F_1 = 1,\quad F_2 = 1,\quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\\ \text{para }n\ge3.

Passo 2

Vamos listar os primeiros termos e ver onde aparecem os pares: F_1=1 (ímpar), F_2=1 (ímpar), F_3=2 (par), F_4=3 (ímpar), F_5=5 (ímpar), F_6=8 (par), F_7=13 (ímpar), F_8=21 (ímpar), F_9=34 (par), F_{10}=55 (ímpar), F_{11}=89 (ímpar), F_{12}=144 (par), …
Os índices dos termos pares são 3,6,9,12,\dots

Passo 3

Conjectura:
F_n é par se, e somente se, 3 divide n.”
Ou seja, F_n é par exatamente quando n=3k para algum k\in\mathbb{N}.

Passo 4

Prova por indução forte em n:
Base n=1,2,3:
  • Para n=1 e n=2, temos F_1=1 e F_2=1 ímpares, e 3\nmid1, 3\nmid2.
  • Para n=3, F_3=2 é par e 3\mid3.
Passo indutivo: suponha que, para todo j<n, vale
F_j é par \iff 3\mid j.”
Para n\ge4, use a relação de recorrência:
F_n \;=\; F_{n-1} + F_{n-2}.
Pela hipótese,
  • F_{n-1} é par \iff 3\mid(n-1),
  • F_{n-2} é par \iff 3\mid(n-2).
Agora analisamos os três casos de n módulo 3:
Caso 1: n\equiv0\pmod3.
Então n-1\equiv2\pmod3 e n-2\equiv1\pmod3, logo F_{n-1} e F_{n-2} são ímpares.
F_n = \text{ímpar} + \text{ímpar} = \text{par},íí
e 3\mid n.
Caso 2: n\equiv1\pmod3.
Então n-1\equiv0\pmod3 e n-2\equiv2\pmod3, logo F_{n-1} é par e F_{n-2} é ímpar.
F_n = \text{par} + \text{ímpar} = \text{ímpar},íí
e 3\nmid n.
Caso 3: n\equiv2\pmod3.
Então n-1\equiv1\pmod3 e n-2\equiv0\pmod3, logo F_{n-1} é ímpar e F_{n-2} é par.
F_n = \text{ímpar} + \text{par} = \text{ímpar},íí
e 3\nmid n.
Em cada caso provamos que
F_n\text{ é par}\quad\Longleftrightarrow\quad 3\mid n.é
Isso conclui a indução.

Resposta

F_n é par exatamente quando n=3k (com k\in\mathbb{N}), isto é, os termos pares são F_3, F_6, F_9, F_{12},\dots.

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