Use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx da função dada e simplifique a resposta.
y=2 u^{2}-u+5 ; u=1-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{dy}{dx} pela regra da cadeia, dadas as funções
y = 2u^{2} - u + 5
e
u = 1 - x^{2}.
Para isso, vamos precisar de \dfrac{dy}{du} e de \dfrac{du}{dx}, já que
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 2

Derivamos y = 2u^{2} - u + 5 em relação a u:
\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}\bigl(2u^{2}\bigr)\;-\;\frac{d}{du}(u)\;+\;\frac{d}{du}(5) = 4u \;-\;1 \;+\;0 = 4u - 1.

Passo 3

Derivamos u = 1 - x^{2} em relação a x:
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1)\;-\;\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) = 0 \;-\;2x = -2x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \bigl(4u - 1\bigr)\,\bigl(-2x\bigr) = -2x\,(4u - 1).
Substituindo u = 1 - x^{2}:
\frac{dy}{dx} = -2x\Bigl(4(1 - x^{2}) - 1\Bigr).

Passo 5

Simplificamos o que está dentro dos parênteses e multiplicamos:
4(1 - x^{2}) - 1 = 4 - 4x^{2} - 1 = 3 - 4x^{2},
então
\frac{dy}{dx} = -2x\,(3 - 4x^{2}) = -6x + 8x^{3} = 8x^{3} - 6x.

Resposta

\frac{dy}{dx} = 8x^{3} - 6x.

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