Use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx da função dada e simplifique a resposta.
y=u^{2}+u-2 ; u=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
y = u^{2} + u - 2
com
u = \frac{1}{x},
e pede \frac{dy}{dx} usando a regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos y em relação a u. Como y = u^{2}+u-2, pela regra de potência e soma,
\frac{dy}{du} = 2u + 1.

Passo 3

Derivamos u em relação a x. Reescrevendo u = x^{-1} e aplicando regra de potência,
\frac{du}{dx} = -\,x^{-2}.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = (2u+1)\bigl(-x^{-2}\bigr).

Passo 5

Substituindo u = x^{-1} em \frac{dy}{dx} = -(2u+1)x^{-2} e simplificando fatores de x, obtemos
\frac{dy}{dx} = -\frac{x+2}{x^{3}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{x+2}{x^{3}}

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