Use a regra da cadeia para determinar d y / d x.
23. Use a regra da cadeia para determinar d y / d x.
y=u+1)^{2} ; u=1-x

Passo 1

O enunciado dá a composição de funções
y = (u+1)^{2}, \quad u = 1 - x
e pede \dfrac{dy}{dx}. Vamos usar a regra da cadeia, que diz
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de y em relação a u. Como y=(u+1)^{2}, temos
\frac{dy}{du} = 2\,(u+1).

Passo 3

Agora derivamos u em relação a x. Como u=1-x, segue
\frac{du}{dx} = -1.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = 2\,(u+1)\,\bigl(-1\bigr) = -2\,(u+1).
Substituindo u=1-x e simplificando,
\frac{dy}{dx} = -2\bigl((1-x)+1\bigr) = -2(2-x) = 2x - 4.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x - 4.

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