Em cada caso, determine a taxa de variação de f(t) \operatorname{com} t para o valor de t dado.
18. Em cada caso, determine a taxa de variação de f(t) \operatorname{com} t para o valor de t dado.
\quad f(t)=t^{3}-4 t^{2}+5 t \sqrt{t}-5 \mathrm{em} t=4

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação de f(t)=t^{3}-4t^{2}+5t\sqrt{t}-5 em t=4. O conteúdo necessário é derivação de funções usando regra do poder e regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos o termo com raiz para facilitar a derivada:
5t\sqrt{t}=5t\cdot t^{1/2}=5t^{3/2}.
Assim
f(t)=t^3-4t^2+5t^{3/2}-5.

Passo 3

Derivamos termo a termo aplicando a regra do poder ( \frac{d}{dt}t^n=nt^{n-1}):
\frac{d}{dt}(t^3)=3t^2,\quad \frac{d}{dt}(-4t^2)=-8t,\quad \frac{d}{dt}(5t^{3/2})=5\cdot\frac{3}{2}t^{1/2}=\frac{15}{2}t^{1/2},\quad \frac{d}{dt}(-5)=0.
Logo
f'(t)=3t^2-8t+\frac{15}{2}t^{1/2}.

Passo 4

Agora avaliamos em t=4:
f'(4)=3\cdot4^2-8\cdot4+\frac{15}{2}\sqrt{4} =48-32+\frac{15}{2}\cdot2 =16+15 =31.

Resposta

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