Use uma das regras dos expoentes para demonstrar a regra dos logaritmos indicada.
a. Regra do quociente: \ln (u / v)=\ln u-\ln v

Passo 1

Queremos demonstrar a regra do quociente dos logaritmos naturais,
\ln\!\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)=\ln u-\ln v,
assumindo u>0 e v>0. Para isso, vamos usar a definição de \ln como inversa de \exp e uma regra de expoentes para e^x.

Passo 2

Lembrando que, para todo x\in\mathbb{R} e y>0,
\exp(\ln y)=y, \quad \ln\bigl(\exp(x)\bigr)=x,
e que a regra dos expoentes para a função exponencial é
\frac{e^{A}}{e^{B}} = e^{A - B},
para quaisquer A e B.

Passo 3

Como u=e^{\ln u} e v=e^{\ln v}, temos
\frac{u}{v} =\frac{e^{\ln u}}{e^{\ln v}} =e^{\ln u - \ln v}.

Passo 4

Agora aplicamos \ln em ambos os lados:
\ln\!\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr) =\ln\bigl(e^{\ln u - \ln v}\bigr) =\ln u - \ln v,
onde usamos \ln(e^X)=X.

Resposta

\ln\!\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)=\ln u-\ln v

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