Agrupe os fatores do produto
2 cdot 3 cdot 4 ldots 20 cdot 21
em pares a b equiv 1(bmod 23). Justifique o procedimento empregado.

Passo 1

O enunciado pede que a gente agrupe os fatores
2cdot3cdot4cdots20cdot21
em pares ,a bequiv1pmod23.
O conteúdo aqui é o de inversos multiplicativos em Z23. Como 23 é primo, todo elemento não-nulo em Z23 tem inverso único.

Passo 2

Note que os fatores vão de 2 até 21, ou seja, todos os elementos de Z23^*=1,2,dots,22 exceto 1 e 22. Em Z23^*, cada kneq0 satisfaz
kcdot k^-1equiv1pmod23,
e, como kneq1,22, sempre kneq k^-1, permitindo formar pares distintos.

Passo 3

Agora basta achar para cada kin2,dots,21 o seu inverso k^-1 em bmod23. Os pares são
2long<=ftrightarrow12, 3long<=ftrightarrow8, 4long<=ftrightarrow6, 5long<=ftrightarrow14, 7long<=ftrightarrow10,
9long<=ftrightarrow18, 11long<=ftrightarrow21, 13long<=ftrightarrow16, 15long<=ftrightarrow20, 17long<=ftrightarrow19
Em cada caso kcdot k^-1equiv1pmod23.

Passo 4

Agrupando o produto original nesses 10 pares, cada par contribui com 1 módulo 23. Logo
2cdot3cdots21 ;equiv; (2cdot12),(3cdot8)cdots(17cdot19) ;equiv; 1cdot1cdots1 ;equiv; 1pmod23

Resposta

Os pares são
(2,12),;(3,8),;(4,6),;(5,14),;(7,10),;(9,18),;(11,21),;(13,16),;(15,20),;(17,19),
pois cada elemento de 2,dots,21 foi emparelhado com seu inverso em Z23^*, garantindo a bequiv1pmod23.

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