Se o resto da divisāo euclidiana de um número primo por 3 é 1 , mostre que na divisão desse número por 6 o resto também é 1 .
Passo 1
O enunciado diz que
é um número primo e que o resto da divisão euclidiana de
por 3 é 1, ou seja,
Vamos usar congruências e propriedades de primos (paridade e divisibilidade) para mostrar que na divisão de
por 6 o resto também é 1.
Passo 2
Escrevemos
onde
é um inteiro e o resto satisfaz
.
Passo 3
Como
é primo e
(pois
), ele é ímpar. Logo
não pode ser par, ou seja,
ficando
.
Passo 4
Se
, então
o que tornaria
divisível por 3. Mas isso contradiz
. Portanto
, restando
.
Passo 5
Verificando
, temos
então não satisfaz
. Assim o único valor possível é
.
Passo 6
Concluímos que
ou seja, o resto da divisão de
por 6 é 1.
Resposta
O resto da divisão de
por 6 é 1.