Se o resto da divisāo euclidiana de um número primo por 3 é 1 , mostre que na divisão desse número por 6 o resto também é 1 .

Passo 1

O enunciado diz que p é um número primo e que o resto da divisão euclidiana de p por 3 é 1, ou seja,
p equiv 1 pmod3
Vamos usar congruências e propriedades de primos (paridade e divisibilidade) para mostrar que na divisão de p por 6 o resto também é 1.

Passo 2

Escrevemos
p = 6q + r,
onde q é um inteiro e o resto satisfaz 0 <= r <= 5.

Passo 3

Como p é primo e pnot=2 (pois 2equiv2pmod3neq1), ele é ímpar. Logo r não pode ser par, ou seja,
rnotin0,2,4,
ficando rin1,3,5.

Passo 4

Se r=3, então
p = 6q + 3 = 3(2q+1),
o que tornaria p divisível por 3. Mas isso contradiz pequiv1pmod3. Portanto rneq3, restando rin1,5.

Passo 5

Verificando r=5, temos
5 equiv 2 pmod3,
então não satisfaz pequiv1pmod3. Assim o único valor possível é r=1.

Passo 6

Concluímos que
p = 6q + 1,
ou seja, o resto da divisão de p por 6 é 1.

Resposta

O resto da divisão de p por 6 é 1.

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