Para que valores de a são equivalentes os sistemas abaixo?
l x = 1 y = 1 e rl a x+y & =a+1 x+y & =2

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas lineares em
Queremos os valores de (a] para os quais os dois sistemas têm exatamente o mesmo conjunto de soluções.

Passo 2

Para o segundo sistema, escrevemos em forma matricial ou aplicamos Cramer. As equações são
a x + y = a + 1, x + y = 2
Duas retas em R^2 são equivalentes ao sistema x=1,,y=1 se intersectam em exatamente o ponto (1,1) e não têm outra solução.

Passo 3

O determinante da matriz dos coeficientes é
D = a & 1 1 & 1 = a cdot 1 - 1 cdot 1 = a - 1
Se D neq 0, o sistema tem solução única dada por Cramer; se D=0, pode ter infinitas ou nenhuma.

Passo 4

Para a neq 1, o sistema tem solução única. Veja que (x,y)=(1,1) satisfaz
acdot1 + 1 = a+1 e 1 + 1 = 2,
portanto é essa única solução. Logo, para todo aneq 1, o segundo sistema tem exatamente a solução (1,1), coincidente com o primeiro.

Passo 5

Se a=1, então D=0 e as duas equações viram
x + y = 2
(repetida), dando infinitas soluções diferentes de (1,1). Logo, não são equivalentes ao sistema x=1,,y=1.

Resposta

Os sistemas são equivalentes para todo aneq 1.

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