Para que valores de a são equivalentes os sistemas abaixo?
Passo 1
O enunciado dá dois sistemas lineares em
Queremos os valores de (a] para os quais os dois sistemas têm exatamente o mesmo conjunto de soluções.
Passo 2
Para o segundo sistema, escrevemos em forma matricial ou aplicamos Cramer. As equações são
Duas retas em são equivalentes ao sistema se intersectam em exatamente o ponto e não têm outra solução.
Passo 3
O determinante da matriz dos coeficientes é
Se D neq 0, o sistema tem solução única dada por Cramer; se D=0, pode ter infinitas ou nenhuma.
Passo 4
Para a neq 1, o sistema tem solução única. Veja que (x,y)=(1,1) satisfaz
acdot1 + 1 = a+1 e 1 + 1 = 2,
portanto é essa única solução. Logo, para todo aneq 1, o segundo sistema tem exatamente a solução (1,1), coincidente com o primeiro.
Passo 5
Se a=1, então D=0 e as duas equações viram
x + y = 2
(repetida), dando infinitas soluções diferentes de (1,1). Logo, não são equivalentes ao sistema x=1,,y=1.
Resposta
Os sistemas são equivalentes para todo aneq 1.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 443