Utilize a regra da cadeia para obter as derivadas parciais indicadas.
R=r s^2 t^4 ; r=u e^v^2, s=v e^-u^2, t=e^u^2 v^2 ; partial Rpartial u, partial Rpartial v

Passo 1

O enunciado dá
R como função composta
R(r,s,t)=r,s^2,t^4,
com
r(u,v)=u,e^v^2, s(u,v)=v,e^-u^2, t(u,v)=e^u^2v^2
O objetivo é calcular partial R/partial u e partial R/partial v usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro derivamos R em relação às variáveis intermediárias r,s,t.
partial Rpartial r=s^2t^4, partial Rpartial s=2,r,s,t^4, partial Rpartial t=4,r,s^2,t^3

Passo 3

Agora derivamos r,s,t em relação a u:
partial rpartial u = e^v^2, partial spartial u =-2u,v,e^-u^2, partial tpartial u =2u,v^2,e^u^2v^2

Passo 4

Derivamos r,s,t em relação a v:
partial rpartial v =2u,v,e^v^2, partial spartial v =e^-u^2, partial tpartial v =2u^2,v,e^u^2v^2

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para partial R/partial u:
partial Rpartial u =partial Rpartial rpartial rpartial u +partial Rpartial spartial spartial u +partial Rpartial tpartial tpartial u
Substituindo:
partial Rpartial u =s^2t^4e^v^2 +2,r,s,t^4l(-2u,v,e^-u^2r) +4,r,s^2,t^3l(2u,v^2,e^u^2v^2r)
Fazendo r=u e^v^2, s=v e^-u^2, t=e^u^2v^2 e reunindo fatores, chega-se a
partial Rpartial u =e^,v^2-2u^2+4u^2v^2l(v^2-4u^2v^2+8u^2v^4r)

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para partial R/partial v:
partial Rpartial v =s^2t^4l(2u,v,e^v^2r) +2,r,s,t^4,e^-u^2 +4,r,s^2,t^3l(2u^2,v,e^u^2v^2r)
Substituindo e reunindo fatores, obtém-se
partial Rpartial v =e^,v^2-2u^2+4u^2v^2 l(2u,v+2u,v^3+8u^3v^3r)

Resposta

partial Rpartial u =e^,v^2-2u^2+4u^2v^2l(v^2-4u^2v^2+8u^2v^4r),
partial Rpartial v =e^,v^2-2u^2+4u^2v^2l(2u,v+2u,v^3+8u^3v^3r)

Exercícios de Livros Relacionados