Verifique que a função dada satisfaz a equação de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
satisfaz a equação de Laplace
Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem em
e em
.
Passo 2
Defina
de modo que
.
Calculamos primeiro
Calculamos primeiro
Pela regra do produto,
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
outra vez:
Aplicando produto e cadeia em cada termo, chega-se a
Passo 4
Agora calculamos as derivadas em
. Primeiro,
Logo,
Passo 5
Derivando
em relação a
, obtemos
Passo 6
Somamos
e
:
Dentro dos colchetes, todos os termos se cancelam, resultando em zero:
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace.