Verifique que a função dada satisfaz a equação de Laplace:
partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2=0
z=e^x^2-y^2 cos 2 x y

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
z(x,y) = e^x^2-y^2cos(2xy)
satisfaz a equação de Laplace
partial^2zpartial x^2 + partial^2zpartial y^2 = 0
Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem em x e em y.

Passo 2

Defina
E(x,y) = e^x^2-y^2, C(x,y) = cos(2xy),
de modo que z = E,C.
Calculamos primeiro
partial Epartial x = 2x,E, partial Cpartial x = -sin(2xy),2y
Pela regra do produto,
zx = partial zpartial x = Ex,C + E,Cx = 2xEcdot C ;-; 2yEsin(2xy)

Passo 3

Agora derivamos zx em relação a x outra vez:
zx = 2xE,C - 2yEsin(2xy)
Aplicando produto e cadeia em cada termo, chega-se a
zxx = 2E,C +4x^2E,C -8xy,Esin(2xy) -4y^2E,C = El[2C + 4(x^2-y^2)C -8xysin(2xy)r]

Passo 4

Agora calculamos as derivadas em y. Primeiro,
partial Epartial y = -2y,E, partial Cpartial y = -sin(2xy),2x
Logo,
zy = Ey,C + E,Cy = -2yEcdot C ;-; 2xEsin(2xy)

Passo 5

Derivando zy em relação a y, obtemos
zyy = -2E,C +4y^2E,C +8xy,Esin(2xy) -4x^2E,C = El[-2C +4(y^2-x^2)C +8xysin(2xy)r]

Passo 6

Somamos zxx e zyy:
zxx + zyy = El[2C +4(x^2-y^2)C -8xysin(2xy)r] +El[-2C +4(y^2-x^2)C +8xysin(2xy)r]
Dentro dos colchetes, todos os termos se cancelam, resultando em zero:
zxx + zyy = 0

Resposta

A função z=e^x^2-y^2cos(2xy) satisfaz a equação de Laplace.

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