VALOR ATUAL DE UM INVESTIMENTO Um investimento gera receita continuamente a uma taxa constante de R$ 1.200,00por ano durante cinco anos. Se a taxa de juros permanece constante em 5 \% ao ano, capitalizados continuamente, qual é o valor atual do investimento?

Passo 1

O enunciado nos diz que há uma receita contínua de R$ 1\,200 por ano durante 5 anos e que a taxa de juros é de 5\% ao ano, capitalizada continuamente. O conteúdo aqui é valor presente de fluxo contínuo, e vamos usar a fórmula
PV=\int_{0}^{T}f(t)e^{-rt}\,dt
onde f(t) é a taxa de recebimento, r a taxa de juros contínua e T o horizonte de tempo.

Passo 2

Aqui temos f(t)=1\,200 (constante), r=0,05 e T=5. Portanto
PV=\int_{0}^{5}1\,200\,e^{-0,05t}\,dt.

Passo 3

Como 1\,200 é constante, podemos tirar da integral:
PV=1\,200\int_{0}^{5}e^{-0,05t}\,dt.
Sabendo que \displaystyle\int e^{-0,05t}\,dt=-\frac{1}{0,05}e^{-0,05t}, avaliamos de 0 a 5.

Passo 4

Fazendo a conta:
PV =1\,200\Bigl[-\tfrac{1}{0,05}e^{-0,05t}\Bigr]_{0}^{5} =\frac{1\,200}{0,05}\bigl(1-e^{-0,25}\bigr).

Passo 5

Calculando numericamente e^{-0,25}\approx0,7788, temos
PV\approx\frac{1\,200}{0,05}(1-0,7788) =24\,000\times0,2212\approx5\,308{,}8.

Resposta

PV=\frac{1\,200}{0,05}\bigl(1-e^{-0,25}\bigr)\approx R\$\,5\,308{,}80.

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