Para que valor de
a diferencial da função
não equivale ao acréscimo desta função, quando
?
Passo 1
O enunciado trata da função
e pergunta em que ponto a diferencial não equivale ao acréscimo quando
. O tema é a aproximação linear (diferencial) de uma função suave: em geral temos
e dizemos que
para
, desde que o termo de ordem superior seja desprezível.
Passo 2
Vamos calcular explicitamente
e
para
.
A diferencial, usando , é
A diferencial, usando
O acréscimo exato é
Passo 3
Para que a diferencial seja uma boa aproximação de
, precisamos que o termo
seja de ordem muito menor que
. Mais formalmente, consideramos a razão
e observamos o que acontece quando
.
Passo 4
Tomando
, a razão acima tende a
contanto que
. Se
, o denominador
anula-se e a aproximação linear colapsa: a diferencial
enquanto
. Portanto, em
a diferencial não equivale ao acréscimo.