Para que valor de x a diferencial da função y=x^{2} não equivale ao acréscimo desta função, quando \Delta x \rightarrow 0 ?

Passo 1

O enunciado trata da função y=x^{2} e pergunta em que ponto a diferencial não equivale ao acréscimo quando \Delta x\to0. O tema é a aproximação linear (diferencial) de uma função suave: em geral temos
\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x) \quad\text{e}\quad \mathrm{d}y = f'(x)\,\mathrm{d}x,
e dizemos que \mathrm{d}y\approx\Delta y para \Delta x\to0, desde que o termo de ordem superior seja desprezível.

Passo 2

Vamos calcular explicitamente \Delta y e \mathrm{d}y para f(x)=x^{2}.
A diferencial, usando f'(x)=2x, é
\mathrm{d}y = f'(x)\,\mathrm{d}x = 2x\,\mathrm{d}x.
O acréscimo exato é
\Delta y = (x+\Delta x)^{2}-x^{2} =2x\,\Delta x + (\Delta x)^{2}.

Passo 3

Para que a diferencial seja uma boa aproximação de \Delta y, precisamos que o termo (\Delta x)^{2} seja de ordem muito menor que 2x\,\Delta x. Mais formalmente, consideramos a razão
\frac{\Delta y}{\mathrm{d}y} =\frac{2x\,\Delta x + (\Delta x)^{2}}{2x\,\Delta x} =\frac{2x + \Delta x}{2x}
e observamos o que acontece quando \Delta x\to0.

Passo 4

Tomando \Delta x\to0, a razão acima tende a
\lim_{\Delta x\to0}\frac{2x + \Delta x}{2x} =\frac{2x}{2x}=1,
contanto que x\neq0. Se x=0, o denominador 2x anula-se e a aproximação linear colapsa: a diferencial \mathrm{d}y=2\cdot0\cdot\mathrm{d}x=0 enquanto \Delta y=(\Delta x)^{2}\not\equiv0. Portanto, em x=0 a diferencial não equivale ao acréscimo.

Resposta

0

Exercícios de Livros Relacionados