Qual o valor de k para que o sistema
r x-y-z=0 2 x+k y+z=0 x-2 y-2 z=0 ,
admita solução própria?

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações lineares em x,y,z. Queremos uma solução própria (não trivial), ou seja, além de x=y=z=0. Para isso, precisamos que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes:
M = 1 & -1 & -1 2 & k & 1 1 & -2 & -2
e calculamos det(M) por expansão de Laplace na primeira linha:
det(M) =1cdotk & 1 -2 & -2 -(-1)cdot2 & 1 1 & -2 +(-1)cdot2 & k 1 & -2

Passo 3

Calculando cada menor:
k & 1 -2 & -2 = kcdot(-2)-1cdot(-2) = -2k+2,
2 & 1 1 & -2 =2cdot(-2)-1cdot1 = -4-1 = -5,
2 & k 1 & -2 =2cdot(-2)-kcdot1 = -4-k
Logo,
det(M) = (-2k+2) -(-5) +(-1),( -4-k) = -2k+2 +5 +4 +k = -k+11

Passo 4

Para ter solução própria, exigimos det(M)=0. Assim,
-k+11 = 0 Longrightarrow k = 11

Resposta

k = 11

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