Queremos discutir quantas soluções ele tem dependendo do parâmetro . Para isso, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e analisar os casos em que ele é não nulo (solução única) ou nulo (infinito de soluções ou sistema impossível).
Passo 2
A matriz dos coeficientes é
logo o determinante é
De<a = det(A) = (2a-1)^2(2a+1) - (4a^2-1)^2
Expandindo e simplificando, chega-se a
De<a = -2a,(2a-1)^2(2a+1)
Portanto De<a=0 se, e somente se, a=0, a=tfrac12 ou a=-tfrac12.
Passo 3
Caso aneq -tfrac12,,0,,tfrac12, tem-se De<aneq0 e o sistema tem solução única. Pelo Regra de Cramer,
x = De<axDe<a, y = De<ayDe<a
Calculamos primeiro De<ay substituindo a coluna de y pelos termos constantes:
x = 4a^2-1 - (2a+1),42a-14a^2-1 = 4a^2-4a-3(2a-1)^2
Passo 4
Caso a=0. Substituindo em cada equação:
x - y = 1, -,x + y = -1,
que são a mesma reta x - y = 1. Logo há infinitas soluções, dadas por
y = t, x = t + 1, tinR
Passo 5
Caso a=tfrac12. Tem-se
(2a-1)^2=0,;4a^2-1=0,;2a+1=2,
então a primeira equação vira 0=4, impossível. O sistema é incompatível e não tem solução.
Passo 6
Caso a=-tfrac12. Nesse caso
2a-1=-2,;(2a-1)^2=4,;4a^2-1=0,;2a+1=0,
e o sistema reduz-se a
4x = 0, 0 = 0
Daí x=0 e y é livre. Há infinitas soluções de forma
x=0, y = t, tinR
Resposta
Para cada valor de a:
a) Se aneq -tfrac12,,0,,tfrac12, solução única
x = 4a^2-4a-3(2a-1)^2, y = 42a-1
b) Se a=0, infinitas soluções da reta x - y = 1.
c) Se a=tfrac12, sistema incompatível (nenhuma solução).
d) Se a=-tfrac12, infinitas soluções com x=0 e y livre.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 375