Discuta o sistema:
l(2 a-1)^2 x+(4 a^2-1) y=(2 a+1)^2 (4 a^2-1) x+(2 a+1) y=(4 a^2-1)
segundo os valores de a.

Passo 1

O sistema dado é
(2a-1)^2x + (4a^2-1)y = (2a+1)^2, (4a^2-1)x + (2a+1)y = (4a^2-1)
Queremos discutir quantas soluções ele tem dependendo do parâmetro a. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e analisar os casos em que ele é não nulo (solução única) ou nulo (infinito de soluções ou sistema impossível).

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = (2a-1)^2 & 4a^2-1 4a^2-1 & 2a+1 ,
logo o determinante é
De<a = det(A) = (2a-1)^2(2a+1) - (4a^2-1)^2
Expandindo e simplificando, chega-se a
De<a = -2a,(2a-1)^2(2a+1)
Portanto De<a=0 se, e somente se, a=0, a=tfrac12 ou a=-tfrac12.

Passo 3

Caso aneq -tfrac12,,0,,tfrac12, tem-se De<aneq0 e o sistema tem solução única. Pelo Regra de Cramer,
x = De<axDe<a, y = De<ayDe<a
Calculamos primeiro De<ay substituindo a coluna de y pelos termos constantes:
De<ay = (2a-1)^2 & (2a+1)^2 4a^2-1 & 4a^2-1 = (4a^2-1)l[(2a-1)^2-(2a+1)^2r] = -8a,(4a^2-1)
Assim,
y = -8a,(4a^2-1)-2a,(2a-1)^2(2a+1) = 42a-1
Para x usamos a segunda equação
(4a^2-1)x + (2a+1)y = 4a^2-1,
logo
x = 4a^2-1 - (2a+1),42a-14a^2-1 = 4a^2-4a-3(2a-1)^2

Passo 4

Caso a=0. Substituindo em cada equação:
x - y = 1, -,x + y = -1,
que são a mesma reta x - y = 1. Logo há infinitas soluções, dadas por
y = t, x = t + 1, tinR

Passo 5

Caso a=tfrac12. Tem-se
(2a-1)^2=0,;4a^2-1=0,;2a+1=2,
então a primeira equação vira 0=4, impossível. O sistema é incompatível e não tem solução.

Passo 6

Caso a=-tfrac12. Nesse caso
2a-1=-2,;(2a-1)^2=4,;4a^2-1=0,;2a+1=0,
e o sistema reduz-se a
4x = 0, 0 = 0
Daí x=0 e y é livre. Há infinitas soluções de forma
x=0, y = t, tinR

Resposta

Para cada valor de a:
a) Se aneq -tfrac12,,0,,tfrac12, solução única
x = 4a^2-4a-3(2a-1)^2, y = 42a-1
b) Se a=0, infinitas soluções da reta x - y = 1.
c) Se a=tfrac12, sistema incompatível (nenhuma solução).
d) Se a=-tfrac12, infinitas soluções com x=0 e y livre.

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