Para quais valore de
se verificam as seguintes desigualdades?
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os
tais que
Isto é uma inequação de terceiro grau. Vamos usar o fato de que o polinômio
é estritamente crescente (pela sua derivada) e, em seguida, localizar a única raiz real de
via fórmula de Cardano.
Passo 2
Calculemos a derivada de
Como
para todo
, temos
sempre. Logo,
é estritamente crescente e admite exatamente uma raiz real.
Passo 3
A raiz real
é a solução de
Na forma
temos
e
. O discriminante é
Pela fórmula de Cardano,
Passo 4
Para ter uma ideia numérica, note que
Passo 5
Como
é estritamente crescente, a condição
equivale a