Para quais valore de x se verificam as seguintes desigualdades?
x^3+3 x+1 >=q 0.

Passo 1

O enunciado pede para achar os x tais que
x^3+3x+1 >=q 0
Isto é uma inequação de terceiro grau. Vamos usar o fato de que o polinômio f(x)=x^3+3x+1 é estritamente crescente (pela sua derivada) e, em seguida, localizar a única raiz real de f(x)=0 via fórmula de Cardano.

Passo 2

Calculemos a derivada de
f(x)=x^3+3x+1:
f'(x)=3x^2+3 = 3l(x^2+1r)
Como x^2+1>0 para todo xinR, temos f'(x)>0 sempre. Logo, f é estritamente crescente e admite exatamente uma raiz real.

Passo 3

A raiz real x0 é a solução de
x^3+3x+1=0
Na forma x^3+px+q=0 temos p=3 e q=1. O discriminante é
D = l(tfracq2r)^2 + l(tfracp3r)^3 = l(tfrac12r)^2 + 1^3 = tfrac14 + 1 = tfrac54>0
Pela fórmula de Cardano,
x0 = raiz[3]-tfracq2 + raizD + raiz[3]-tfracq2 - raizD = raiz[3]-tfrac12 + raiztfrac54 + raiz[3]-tfrac12 - raiztfrac54

Passo 4

Para ter uma ideia numérica, note que
-tfrac12 + raiztfrac54approx 0,618, -tfrac12 - raiztfrac54approx -1,618,
raiz[3]0,618approx 0,851, raiz[3]-1,618approx -1,174,
x0approx 0,851 - 1,174 = -0,323

Passo 5

Como f é estritamente crescente, a condição f(x)>=q 0 equivale a
x >=q x0

Resposta

x ;>=q;raiz[3]-tfrac12 + raiztfrac54 ;+;raiz[3]-tfrac12 - raiztfrac54 ;approx;-0,323

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