- Seja
. Mostrar que
.
.
.
…
…
Passo 1
O enunciado define as polinômios de Bernstein de ordem
por
Queremos mostrar as expansões das potências de
na base
, ou seja,
-
, -
, - para
,
em particular
.
Usaremos o Teorema binomial e algumas identidades de binomiais (momentos da distribuição binomial).
Usaremos o Teorema binomial e algumas identidades de binomiais (momentos da distribuição binomial).
Passo 2
Aplicando o Teorema binomial a
temos
Como
, concluímos
Passo 3
Para obter a expansão de
, consideramos o “momento de primeira ordem”
Usa-se a identidade
,
de modo que
de modo que
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Passo 4
Para a forma geral de ordem
,
, consideramos
Usamos a identidade dupla
.
Então
Então
Dividindo por
, chega-mos a
Passo 5
O caso
é imediato: só
contribui na soma, e
Resposta
-
. -
. - Para
,
,
em particular.