131.* Se
convergir para quaisquer valores positivos de
e de
, e se
tender para os limites
, quando
, e
quando
, mostrar que
Passo 1
O enunciado afirma que a integral imprópria
converge para quaisquer
, e que
e
.
Queremos provar que, para quaisquer constantes positivas e
,
Queremos provar que, para quaisquer constantes positivas
onde se define
O conteúdo principal será manipular integrais impróprias e usar mudança de variável.
Passo 2
Considere a integral truncada
com
. Vamos reescrever cada termo separadamente por mudança de variável:
- No primeiro termo tome
, então e , portanto
- No segundo, com
, e , fica
Logo
Passo 3
Suponha, sem perda de generalidade, que
. Então, sobre a reta
, os intervalos aparecem na ordem
Nesse caso podemos observar que, para
, as duas integrais se cancelam, restando apenas as porções exteriores:
Passo 4
Agora passamos aos limites
e
.
- Como
quando , para pequeno
- Como
quando , para grande
Portanto, no limite,