131.* Se integrala^b f(x)x d x convergir para quaisquer valores positivos de a e de b, e se f(x) tender para os limites M, quando x infty, e L quando x 0, mostrar que
integral0^infty f(alpha x)-f(beta x)x d x=(L-M) log alpha^beta

Passo 1

O enunciado afirma que a integral imprópria
integrala^bf(x)x,dx
converge para quaisquer 0<a<b<infty, e que
limxto0f(x)=L e limxtoinftyf(x)=M.
Queremos provar que, para quaisquer constantes positivas alpha e beta,
integral0^inftyf(alpha x)-f(beta x)x,dx=(L-M),logalpha^beta,
onde se define
logalpha^beta=integralalpha^betadtt=ln!l(tfracbetaalphar)
O conteúdo principal será manipular integrais impróprias e usar mudança de variável.

Passo 2

Considere a integral truncada
Ivarepsilon,N=integralvarepsilon^Nf(alpha x)-f(beta x)x,dx,
com 0<varepsilon< N<infty. Vamos reescrever cada termo separadamente por mudança de variável:
  • No primeiro termo tome u=alpha x, então dx=tfracdualpha e x=u/alpha, portanto
integralvarepsilon^Nf(alpha x)x,dx =integralalphavarepsilon^alpha Nf(u),u,,du
  • No segundo, com v=beta x, dx=dv/beta e x=v/beta, fica
integralvarepsilon^Nf(beta x)x,dx =integralbetavarepsilon^beta Nf(v),v,,dv
Logo
Ivarepsilon,N =integralalphavarepsilon^alpha Nf(u)u,du -integralbetavarepsilon^beta Nf(u)u,du

Passo 3

Suponha, sem perda de generalidade, que alpha<beta. Então, sobre a reta u>0, os intervalos aparecem na ordem
alphavarepsilon<betavarepsilon<alpha N<beta N
Nesse caso podemos observar que, para uin[betavarepsilon,alpha N], as duas integrais se cancelam, restando apenas as porções exteriores:
Ivarepsilon,N =integralalphavarepsilon^betavarepsilonf(u)u,du -integralalpha N^beta Nf(u)u,du

Passo 4

Agora passamos aos limites e .
  1. Como quando , para pequeno
  1. Como quando , para grande
Portanto, no limite,

Resposta

integral0^inftyf(alpha x)-f(beta x)x,dx =(L-M),logalpha^beta

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