Obtenha as circunferências de centro C(2,-1) e tangentes à circunferência x^2+y^2+4 x-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede as circunferências de centro C(2,-1) que sejam tangentes à circunferência dada
x^2+y^2+4x-6y=0
O conteúdo envolvido é a condição de tangência entre duas circunferências, que se expressa em termos da distância entre centros e das somas ou diferenças de raios.

Passo 2

Vamos escrever a circunferência dada em forma padrão.
x^2+4x+y^2-6y=0
(x+2)^2-4+(y-3)^2-9=0
(x+2)^2+(y-3)^2=13
Logo, o centro é O(-2,3) e o raio é R=raiz13.

Passo 3

Calculamos a distância d entre os centros O(-2,3) e C(2,-1):
d=raiz(2-(-2))^2+(-1-3)^2 =raiz4^2+(-4)^2 =raiz32 =4raiz2

Passo 4

Sejam r os possíveis raios das circunferências de centro C.
  • Tangência externa: d = R + r Longrightarrow r = d - R = 4raiz2 - raiz13
  • Tangência interna (a circunferência de centro C engloba a outra): d = r - R Longrightarrow r = d + R = 4raiz2 + raiz13
Ambas as soluções são positivas, portanto válidas.

Passo 5

Os raios ao quadrado valem
l(4raiz2pmraiz13r)^2 =32+13pm8raiz26 =45pm8raiz26
Assim, as equações das circunferências são
(x-2)^2+(y+1)^2 =45-8raiz26
e
(x-2)^2+(y+1)^2 =45+8raiz26

Resposta

As circunferências de centro C(2,-1) e tangentes à dada são
(x-2)^2+(y+1)^2=l(4raiz2-raiz13r)^2 e (x-2)^2+(y+1)^2=l(4raiz2+raiz13r)^2

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