Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência?
m x^2+2 y^2+24 x+24 y-k=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
m x^2 + 2 y^2 + 24 x + 24 y - k = 0
e pergunta para quais valores de m e k isso é uma circunferência.
Para uma equação geral de segundo grau
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0
ser uma circunferência é preciso que B=0 e A=Cneq 0.

Passo 2

No nosso caso B=0 já está satisfeito (não há termo xy) e temos A=m, C=2. Igualando A=C vem
m = 2

Passo 3

Substituindo m=2 na equação obtemos
2x^2 + 2y^2 + 24x + 24y - k = 0
Podemos dividir tudo por 2 para facilitar:
x^2 + y^2 + 12x + 12y - k2 = 0

Passo 4

Agora completamos o quadrado em x e em y:
x^2+12x = (x+6)^2 - 36, y^2+12y = (y+6)^2 - 36
Logo a equação vira
(x+6)^2 - 36 + (y+6)^2 - 36 - k2 = 0
Longrightarrow (x+6)^2 + (y+6)^2 = 72 + k2

Passo 5

Isto mostra que o centro é (-6,-6) e o raio ao quadrado é
r^2 = 72 + k2
Para existir uma circunferência real (com r>0) precisamos
72 + k2 > 0 Long<=ftrightarrow k > -144

Resposta

m = 2 e k > -144.

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