Para que valores de k a reta y=k x é tangente ao círculo x^2+y^2-20 y+36=0 ?

Passo 1

O enunciado pede os valores de k tais que a reta y = kx seja tangente ao círculo dado por
x^2 + y^2 - 20y + 36 = 0
O conteúdo aqui é geometria analítica: primeiro a gente reescreve a equação do círculo para achar seu centro e raio e depois usa a condição de tangência pela distância do centro à reta.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em y. A equação
x^2 + y^2 - 20y + 36 = 0
pode ser escrita como
x^2 + (y - 10)^2 - 100 + 36 = 0
ou seja
x^2 + (y - 10)^2 = 64
Logo, o centro é C=(0,10) e o raio é r = 8.

Passo 3

A reta é y = kx, que em forma geral fica
kx - y = 0
A distância do ponto C=(0,10) a essa reta é
d = l|kcdot 0 - 1cdot 10 + 0r|raizk^2 + 1 = 10raizk^2+1

Passo 4

Para que a reta seja tangente, essa distância deve ser igual ao raio 8. Assim, impomos
10raizk^2+1 = 8
Daí
raizk^2+1 = 108 = 54,
e elevando ao quadrado,
k^2 + 1 = 2516 Longrightarrow k^2 = 2516 - 1 = 916

Passo 5

Portanto
k = pm 34

Resposta

k = pm 34.

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