Para que valores de k temos 2 x^2-k x+2 k>0, qualquer que seja o valor de x ?

Passo 1

O enunciado pede os valores de k tais que a inequação
2x^2-kx+2k>0
valha para todo xinR.
Vamos usar o critério de uma função quadrática ser sempre positiva: deve ter coeficiente líder positivo e discriminante negativo.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da quadrática em x:
a=2, b=-k, c=2k
Como a=2>0, o “bico” da parábola está voltado para cima e satisfaz o primeiro requisito.

Passo 3

Calculamos o discriminante De<a:
De<a = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4cdot2cdot(2k)
De<a = k^2 - 16k

Passo 4

Para que a quadrática não tenha raízes reais (e fique sempre acima de zero), precisamos de
De<a < 0 Longrightarrow k^2 - 16k < 0 Longrightarrow k(k-16)<0
A desigualdade k(k-16)<0 é satisfeita exatamente quando
0 < k < 16

Passo 5

Como a inequação original é estrita ( >0), nos pontos k=0 ou k=16 a expressão chegaria a zero em algum x, o que não é permitido. Logo permanecem apenas os valores internos.

Resposta

kin(0,16).

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