[28] Verdadeira ou falsa? A matriz
A=[lllll 1 & 1 & 1 & 2 & 9 1 & 8 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 1 & 1 2 & 1 & 1 & 8 & 1 9 & 1 & 1 & 1 & 1 ]
não é positiva definida. Apresente uma justificativa caso a sentença seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a matriz
A= 1 & 1 & 1 & 2 & 9 1 & 8 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 1 & 1 2 & 1 & 1 & 8 & 1 9 & 1 & 1 & 1 & 1
é positiva definida ou não. Como A é simétrica, podemos usar o critério de Sylvester: A é positiva definida se, e somente se, todos os menores principais (determinantes dos sub-blocos no canto superior esquerdo) forem estritamente positivos.

Passo 2

Calcular os menores principais de ordem 1,2,3 e 4:
De<a1 &= detl([1]r) = 1>0, De<a2 &= det!1&11&8 = 1cdot8 - 1cdot1 =7>0, De<a3 &= det! 1&1&11&8&11&1&2 =7>0, De<a4 &= det! 1&1&1&21&8&1&11&1&2&12&1&1&8 =20>0

Passo 3

Agora calculamos o determinante de A, que é De<a5. Fazendo operações de linha para reduzir, obtém-se
De<a5 = det(A) = -7847<0

Passo 4

Pelo critério de Sylvester, é necessário que De<a5>0 para A ser positiva definida. Mas aqui De<a5<0, logo A não é positiva definida.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois det(A)=-7847<0, violando o critério de Sylvester para positividade definida.

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