Seja A uma matriz simétrica 4 times 4. Denote o menor principal líder de ordem k de A por |Ak|. Classifique a matriz A como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida e negativa semidefinida em cada um dos casos abaixo. Justifique cuidadosamente sua resposta.
|A1|<0,|A2|<0,|A3|<0 e |A4|<0.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz simétrica A de ordem 4 cujos menores principais líderes
|A1|<0,
|A2|<0,
|A3|<0 e
|A4|<0.
Queremos decidir se A é positiva definida, negativa definida, semidefinida ou indefinida. Vamos aplicar o critério de Sylvester pelos menores principais.

Passo 2

Para ser positiva definida, o critério de Sylvester exige
|A1|>0,;|A2|>0,;|A3|>0,;|A4|>0
Mas aqui |A1|<0, logo falha já no primeiro menor. Portanto A não é positiva definida.

Passo 3

Para ser negativa definida, o critério de Sylvester pede
(-1)^k,|Ak|>0para k=1,2,3,4
Verificamos:
para k=1, (-1)^1|A1|=-|A1|>0 é verdade (pois |A1|<0);
para k=2, (-1)^2|A2|=+|A2|>0 falha, já que |A2|<0.
Logo A não é negativa definida.

Passo 4

Para ser positiva semidefinida, todos os menores principais devem satisfazer
|Ak|>=0(k=1,dots,4)
Aqui cada |Ak|<0, então falha esse teste.

Passo 5

Para ser negativa semidefinida, o critério exige
(-1)^k,|Ak|>=0(k=1,dots,4)
Como já vimos, em k=2 temos (-1)^2|A2|=|A2|<0, falhando o teste.

Passo 6

Nenhum dos critérios de forma definida ou semidefinida é satisfeito. Isso significa que a forma quadrática associada a A assume valores positivos e negativos para diferentes vetores não nulos, caracterizando indefinição.

Resposta

A matriz A é indefinida.

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