Seja
uma matriz simétrica
. Denote o menor principal líder de ordem
de
por
. Classifique a matriz
como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida e negativa semidefinida em cada um dos casos abaixo. Justifique cuidadosamente sua resposta.
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz simétrica
de ordem
cujos menores principais líderes
,
,
e
.
Queremos decidir se é positiva definida, negativa definida, semidefinida ou indefinida. Vamos aplicar o critério de Sylvester pelos menores principais.
Queremos decidir se
Passo 2
Para ser positiva definida, o critério de Sylvester exige
Mas aqui
, logo falha já no primeiro menor. Portanto
não é positiva definida.
Passo 3
Para ser negativa definida, o critério de Sylvester pede
Verificamos:
para ,
é verdade (pois
);
para ,
falha, já que
.
Logo não é negativa definida.
para
para
Logo
Passo 4
Para ser positiva semidefinida, todos os menores principais devem satisfazer
Aqui cada
, então falha esse teste.
Passo 5
Para ser negativa semidefinida, o critério exige
Como já vimos, em
temos
, falhando o teste.
Passo 6
Nenhum dos critérios de forma definida ou semidefinida é satisfeito. Isso significa que a forma quadrática associada a
assume valores positivos e negativos para diferentes vetores não nulos, caracterizando indefinição.
Resposta
A matriz
é indefinida.