Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral d xraiza^2-x^2=arcsen xa+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar a fórmula de integração
integral dxraiza^2-x^2 = arcsin!l(tfracxar) + C
O conteúdo aqui é usar substituição trigonométrica e depois confirmar o resultado por diferenciação.

Passo 2

Fazemos a substituição clássica
x = asintheta, dx = acostheta,dtheta, raiza^2-x^2 = raiza^2-a^2sin^2theta = acostheta
(escolhendo -tfracpi2<theta<tfracpi2 para ter costheta>=0). Logo
integral dxraiza^2-x^2 = integral acostheta,dthetaacostheta = integral dtheta = theta + C

Passo 3

Voltando à variável x, temos theta = arcsin!l(tfracxar). Portanto
integral dxraiza^2-x^2 = arcsin!l(tfracxar) + C

Passo 4

Para verificar, derivamos a função obtida:
ddxl[arcsin!l(tfracxar)r] = 1raiz1-(x/a)^2cdotddxl(tfracxar) = 1raiz1-(x/a)^2cdot1a = 1raiztfraca^2-x^2a^2;a = 1raiza^2-x^2,
caso concorde com o integrando original.

Resposta

integral dxraiza^2-x^2 = arcsin!l(tfracxar) + C

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