Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando técnicas de frações parciais e reconhecimento de integrais trigonométricas padrão, e verificar o resultado por derivação.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais do tipo
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes, obtemos o sistema
Da comparação de potências de
resulta
Passo 3
Substituindo os coeficientes achados, a integral separa-se em parcelas mais simples:
Passo 4
Calculamos as duas primeiras parcelas usando integrais básicas:
Passo 5
Falta
. Primeiro achamos
Uma derivação rápida mostra que
e portanto
levando ao resultado acima.
Passo 6
Juntando tudo e lembrando do sinal negativo da última parcela,
Passo 7
Para verificar, basta derivar
e confirmar que
.