Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral d xx^2(x^2+1)^2=-1x-x2(x^2+1)-32 arctg x+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral dxx^2(x^2+1)^2
usando técnicas de frações parciais e reconhecimento de integrais trigonométricas padrão, e verificar o resultado por derivação.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais do tipo
1x^2(x^2+1)^2 =Ax+Bx^2+Cx^2+1+D(x^2+1)^2
Multiplicando ambos os lados por x^2(x^2+1)^2 e igualando coeficientes, obtemos o sistema
1=A,x(x^2+1)^2+B,(x^2+1)^2+C,x^2(x^2+1)+D,x^2
Da comparação de potências de x resulta
A=0, B=1, C=-1, D=-1

Passo 3

Substituindo os coeficientes achados, a integral separa-se em parcelas mais simples:
integral dxx^2(x^2+1)^2 =integrall(1x^2-1x^2+1-1(x^2+1)^2r)dx

Passo 4

Calculamos as duas primeiras parcelas usando integrais básicas:
integral dxx^2=-1x, integral -,dxx^2+1=-arctan x

Passo 5

Falta
integral-,dx(x^2+1)^2. Primeiro achamos
integral dx(x^2+1)^2 =x2(x^2+1)+12arctan x + C
Uma derivação rápida mostra que
ddxl(x2(x^2+1)r) =1 - x^22(x^2+1)^2,
e portanto
1(x^2+1)^2 =ddxl(x2(x^2+1)r) +12(x^2+1),
levando ao resultado acima.

Passo 6

Juntando tudo e lembrando do sinal negativo da última parcela,
integral dxx^2(x^2+1)^2 =-1x -arctan x -l(x2(x^2+1)+12arctan xr)+C =-1x-x2(x^2+1)-32arctan x + C

Passo 7

Para verificar, basta derivar
F(x)=-1x-x2(x^2+1)-32arctan x
e confirmar que F'(x)=1/l[x^2(x^2+1)^2r].

Resposta

integral dxx^2(x^2+1)^2 =-1x-x2(x^2+1)-32arctan x + C

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