Esboçar as seguintes superficies:
z=x y.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a superfície definida por
z = x,y
Aqui o conteúdo é geometria de superfícies em R^3. Para esboçar vamos usar curvas de nível (intersecções com planos horizontais) e seções transversais (intersecções com planos verticais).

Passo 2

Primeiro note que o domínio é todo o plano R^2 de coordenadas (x,y). A superfície é simétrica na troca de x por y, pois x,y=y,x, e muda de sinal se trocarmos x por -x ou y por -y.

Passo 3

As curvas de nível são obtidas fixando z=c, ou seja
x,y = c
Para cada constante c:
  • Se c>0, isso é uma hipérbole nos quadrantes I e III.
  • Se c<0, é uma hipérbole nos quadrantes II e IV.
  • Para c=0, as “curvas” são as retas x=0 e y=0.

Passo 4

Agora examine seções em planos que contêm o eixo z. Por exemplo, no plano y=x temos
z = xcdot x = x^2,
ou seja uma parábola voltada para cima. No plano y=-x temos
z = xcdot(-x) = -,x^2,
uma parábola voltada para baixo. Isso mostra que em direções ortogonais a superfície se curva em sentidos opostos — característica de um “sela”.

Passo 5

Com curvas de nível hiperbólicas no plano (x,y) e parábolas opostas nos cortes verticais, concluímos que o esboço tem a forma de um hiperbolic paraboloid (sela). No desenho final, trace:
  • Eixos x, y e z.
  • No plano horizontal, algumas hipérboles xy=c.
  • Nos planos inclinados y=x e y=-x, as parábolas z=pm x^2.

Resposta

A superfície z=xy é um hiperbolic paraboloide com formato de sela: suas curvas de nível são hipérboles e suas seções verticais em direções y=x e y=-x são parábolas voltadas para cima e para baixo, respectivamente.

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