Esboçar as seguintes superficies:
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a superfície definida por
Aqui o conteúdo é geometria de superfícies em
. Para esboçar vamos usar curvas de nível (intersecções com planos horizontais) e seções transversais (intersecções com planos verticais).
Passo 2
Primeiro note que o domínio é todo o plano
de coordenadas
. A superfície é simétrica na troca de
por
, pois
, e muda de sinal se trocarmos
por
ou
por
.
Passo 3
As curvas de nível são obtidas fixando
, ou seja
Para cada constante
:
- Se
, isso é uma hipérbole nos quadrantes I e III. - Se
, é uma hipérbole nos quadrantes II e IV. - Para
, as “curvas” são as retas e .
Passo 4
Agora examine seções em planos que contêm o eixo
. Por exemplo, no plano
temos
ou seja uma parábola voltada para cima. No plano
temos
uma parábola voltada para baixo. Isso mostra que em direções ortogonais a superfície se curva em sentidos opostos — característica de um “sela”.
Passo 5
Com curvas de nível hiperbólicas no plano
e parábolas opostas nos cortes verticais, concluímos que o esboço tem a forma de um hiperbolic paraboloid (sela). No desenho final, trace:
- Eixos
, e . - No plano horizontal, algumas hipérboles
. - Nos planos inclinados
e , as parábolas .
Resposta
A superfície
é um hiperbolic paraboloide com formato de sela: suas curvas de nível são hipérboles e suas seções verticais em direções
e
são parábolas voltadas para cima e para baixo, respectivamente.