Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral log x d x=x log x-x+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar a fórmula de integração
integral log x , dx = x log x - x + C
usando técnicas de integração e, em seguida, confirmar o resultado por derivação.

Passo 2

Vamos usar integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Escolhemos
u = log x, dv = dx
então
du = 1x,dx, v = x

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral log x , dx = x,log x - integral x cdot 1x,dx = x,log x - integral 1,dx = x,log x - x + C

Passo 4

Para verificar, definimos
F(x) = x,log x - x + C
e calculamos a derivada:
F'(x) = ddxl[x,log xr] - 1 = l(1cdotlog x + xcdottfrac1xr) - 1 = log x + 1 - 1 = log x
Como F'(x)=log x, a antiderivada está correta.

Resposta

integral log x , dx = x log x - x + C

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