Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral x^n e^a x d x=e^a xa[x^n-n x^n-1a+n(n-1) x^n-2a^2 cdots pm n !a^n]+C

Passo 1

O enunciado pede para obter e verificar por derivação a fórmula de integração por partes repetida para
integral x^ne^ax,dx,
usando as técnicas de integração por partes e mostrando que ao diferenciar o resultado obtemos de volta x^ne^ax.

Passo 2

Aplicamos integração por partes uma vez, escolhendo
u = x^n e dv = e^ax,dx. Então
du = n,x^n-1,dx, v = e^axa,
e a fórmula de partes dá
integral x^ne^ax,dx = x^ne^axa - naintegral x^n-1e^ax,dx

Passo 3

Repetindo esse processo k vezes, gera-se a relação de redução
integral x^ne^ax,dx = e^axasumj=0^k-1(-1)^jn!(n-j)!,x^,n-ja^,j +(-1)^kn!(n-k)!,1a^,kintegral x^,n-ke^ax,dx

Passo 4

Escolhendo k=n, a integral remanescente é
integral x^0e^ax,dx = integral e^ax,dx = e^axa,
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integral x^ne^ax,dx = e^axasumj=0^n(-1)^jn!(n-j)!,x^,n-ja^,j + C

Passo 5

Reescrevendo o somatório em ordem decrescente de potências de x e extraindo o fator e^axa, obtemos exatamente
integral x^ne^ax,dx = e^axal[x^n - n,x^,n-1a + n(n-1),x^,n-2a^2 -cdots +(-1)^nn!a^nr]+C

Passo 6

Para verificar, basta diferenciar o resultado. Defina
F(x)=e^axal[x^n - n,x^,n-1a +cdots +(-1)^nn!a^nr]
Ao calcular
F'(x) =ddxl(tfrace^axar)cdot[cdots] +e^axacdotddx[cdots],
os termos de [cdots] geram exatamente a sucessão que cancela tudo, sobrando somente
F'(x)=x^ne^ax
Isso confirma a fórmula.

Resposta

boxed integral x^ne^ax,dx = e^axal[x^n - n,x^,n-1a + n(n-1),x^,n-2a^2 -cdots +(-1)^nn!a^nr]+C

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