Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
Passo 1
O enunciado pede para obter e verificar por derivação a fórmula de integração por partes repetida para
usando as técnicas de integração por partes e mostrando que ao diferenciar o resultado obtemos de volta
.
Passo 2
Aplicamos integração por partes uma vez, escolhendo
e
. Então
e a fórmula de partes dá
Passo 3
Repetindo esse processo
vezes, gera-se a relação de redução
Passo 4
Escolhendo
, a integral remanescente é
logo
Passo 5
Reescrevendo o somatório em ordem decrescente de potências de
e extraindo o fator
, obtemos exatamente
Passo 6
Para verificar, basta diferenciar o resultado. Defina
Ao calcular
os termos de
geram exatamente a sucessão que cancela tudo, sobrando somente
Isso confirma a fórmula.