Calcular a área entre as curvas:
y=6 arcsen x e y=pi sen pi x.

Passo 1

O enunciado pede a área entre as curvas
y = 6arcsin x
e
y = pisin(pi x),
para x no domínio onde ambas estão definidas, ou seja em [-1,1].
Conteúdo: cálculo de área entre curvas por integração definida; precisamos achar os pontos de interseção e identificar qual função está “por cima” em cada intervalo.

Passo 2

Encontrar interseções resolvendo
6arcsin x = pisin(pi x)
Observando valores notáveis:
  • x=0 0=0.
  • x=tfrac12 6arcsin!tfrac12 =6cdottfracpi6=pi e pisin(tfracpi2)=pi.
  • Por simetria ímpar das duas funções, surge também x=-tfrac12.
    Logo as interseções são
x=-tfrac12, x=0, x=+tfrac12

Passo 3

Determinar quem é “topo” em cada subintervalo. Para x>0 pequeno, por exemplo x=0,25, verifica-se
pisin(pi x)>6arcsin x,
logo em [0,tfrac12] o gráfico de pisin(pi x) fica acima. Por simetria, em [-tfrac12,0] fica acima 6arcsin x. Como a região é simétrica em torno de zero, podemos usar
A = integral-1/2^1/2l|pisin(pi x)-6arcsin xr|,dx =2integral0^1/2l(pisin(pi x)-6arcsin xr),dx

Passo 4

Calcular separadamente as duas integrais:
integral0^1/2pisin(pi x),dx =integral0^pi/2sin u,du =l[-cos ur]0^pi/2=1
  1. Usando integração por partes ou a primitiva conhecida
    integralarcsin x,dx = xarcsin x + raiz1-x^2+C, temos
integral0^1/2arcsin x,dx =l[xarcsin x+raiz1-x^2r]0^1/2 =pi12+raiz32-1
Multiplicando por 6:
6integral0^1/2arcsin x,dx =pi2+3raiz3-6
Portanto
A =2l(1 - l(tfracpi2+3raiz3-6r)r) =2l(7-tfracpi2-3raiz3r) =14-pi-6raiz3

Resposta

boxed14-pi-6raiz3

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