Calcular a área entre as curvas:
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área entre as curvas
e
para
no domínio onde ambas estão definidas, ou seja em
.
Conteúdo: cálculo de área entre curvas por integração definida; precisamos achar os pontos de interseção e identificar qual função está “por cima” em cada intervalo.
Conteúdo: cálculo de área entre curvas por integração definida; precisamos achar os pontos de interseção e identificar qual função está “por cima” em cada intervalo.
Passo 2
Encontrar interseções resolvendo
Observando valores notáveis:
-
dá . -
dá e . - Por simetria ímpar das duas funções, surge também
.
Logo as interseções são
Passo 3
Determinar quem é “topo” em cada subintervalo. Para
pequeno, por exemplo
, verifica-se
logo em
o gráfico de
fica acima. Por simetria, em
fica acima
. Como a região é simétrica em torno de zero, podemos usar
Passo 4
Calcular separadamente as duas integrais:
- Usando integração por partes ou a primitiva conhecida
, temosintegralarcsin x,dx = xarcsin x + raiz1-x^2+C
Multiplicando por 6:
Portanto