Derivação logartmica. Derivar as seguintes funções, tendo previamente tomado o logaritmo de ambos os membros da equação:
y=x^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = x^x
usando diferenciação logarítmica. Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência variável.

Passo 2

Tomando ln em ambos os lados, usamos a propriedade ln(a^b)=bln a. Assim,
ln y = lnl(x^xr) = x,ln x

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, como ln y é função de y(x), usamos regra da cadeia:
ddx[ln y] = 1y,dydx
No lado direito, aplicamos a regra do produto em x,ln x:
ddx[x,ln x] = 1cdotln x + xcdot1x = ln x + 1
Logo,
1y,dydx = ln x + 1

Passo 4

Isolando dydx, multiplicamos ambos os lados por y:
dydx = y,(ln x + 1)
Como y = x^x, obtemos
dydx = x^x,(ln x + 1)

Resposta

dydx = x^x,(ln x + 1)

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