Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a fórmula
integral sec x ,dx = logllvert tanl(tfracpi4+tfracx2r)rrvert + C
usando técnicas de integração (truque algébrico, substituição) e checar por derivação. Vamos usar o fato de que a derivada de sec x+tan x é sec x,tan x+sec^2 x.
Passo 2
Multiplicamos integrando e dividindo por sec x+tan x:
integral sec x ,dx = integral sec x,(sec x+tan x)sec x+tan x,dx = integral sec^2 x + sec x,tan xsec x+tan x,dx
Passo 3
Note que
ddxl(sec x + tan xr) = sec x,tan x + sec^2 x,
que é exatamente o numerador da fração. Portanto
integral sec^2 x + sec x,tan xsec x+tan x,dx = integral d(sec x+tan x)sec x+tan x
Passo 4
A integral torna-se um logaritmo:
integral d(sec x+tan x)sec x+tan x = lnllvert sec x + tan xrrvert + C
Passo 5
Usamos a identidade de meia-soma para reescrever sec x+tan x em termos de tan(tfracpi4+tfracx2). Com t=tan(x/2) e as fórmulas de meia-ângulo, obtém-se
sec x + tan x =1+sin xcos x =1+2t1+t^21-t^21+t^2 =1+t1-t =tanl(tfracpi4+tfracx2r)