Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral sec x d x=log |tg(pi4+x2)|+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar a fórmula
integral sec x ,dx = logllvert tanl(tfracpi4+tfracx2r)rrvert + C
usando técnicas de integração (truque algébrico, substituição) e checar por derivação. Vamos usar o fato de que a derivada de sec x+tan x é sec x,tan x+sec^2 x.

Passo 2

Multiplicamos integrando e dividindo por sec x+tan x:
integral sec x ,dx = integral sec x,(sec x+tan x)sec x+tan x,dx = integral sec^2 x + sec x,tan xsec x+tan x,dx

Passo 3

Note que
ddxl(sec x + tan xr) = sec x,tan x + sec^2 x,
que é exatamente o numerador da fração. Portanto
integral sec^2 x + sec x,tan xsec x+tan x,dx = integral d(sec x+tan x)sec x+tan x

Passo 4

A integral torna-se um logaritmo:
integral d(sec x+tan x)sec x+tan x = lnllvert sec x + tan xrrvert + C

Passo 5

Usamos a identidade de meia-soma para reescrever
sec x+tan x em termos de tan(tfracpi4+tfracx2). Com t=tan(x/2) e as fórmulas de meia-ângulo, obtém-se
sec x + tan x =1+sin xcos x =1+2t1+t^21-t^21+t^2 =1+t1-t =tanl(tfracpi4+tfracx2r)
Logo
lnllvert sec x+tan xrrvert = lnllvert tanl(tfracpi4+tfracx2r)rrvert

Passo 6

Para verificar, derivamos a forma final: seja alpha=tfracpi4+tfracx2. Então
ddxlnlverttanalpharvert =1tanalpha,sec^2alphacdot12 =12,sec^2alphatanalpha =12,1sinalphacosalpha =1sin(2alpha) =1sinl(tfracpi2+xr) =1cos x =sec x
Isso confirma a fórmula dada.

Resposta

integral sec x ,dx = lnllvert tanl(tfracpi4+tfracx2r)rrvert + C

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