Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral d xraizx^2 pm a^2=log |x+raizx^2 pm a^2|+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar a fórmula de integração
integral dxraizx^2pm a^2 =lnl|x+raizx^2pm a^2r|+C
usando técnicas de substituição e depois confirmá-la por derivação. O conteúdo é integração de funções envolvendo raizx^2pm a^2.

Passo 2

Vamos tratar primeiro o caso “ +”:
I+=integral dxraizx^2+a^2
Fazemos a substituição hiperbólica
x = asinh u,
logo
dx = acosh u,du, raizx^2+a^2=raiza^2sinh^2u+a^2=acosh u
Substituindo em I+:
I+ =integral acosh u,duacosh u =integral du =u+C
Como u=arsinh(x/a) e sabe-se que
arsinh z = lnl(z+raizz^2+1r),
temos
I+ =ln!l(tfracxa+raiztfracx^2a^2+1r)+C =lnl(x+raizx^2+a^2r)+C'

Passo 3

Agora o caso “ -”:
I-=integral dxraizx^2-a^2
Usamos a substituição hiperbólica
x = acosh u,
então
dx = asinh u,du, raizx^2-a^2=raiza^2cosh^2u-a^2=asinh u
Assim,
I- =integral asinh u,duasinh u =integral du =u+C
Como u=arcosh(x/a) e
arcosh z = lnl(z+raizz^2-1r),
segue
I- =ln!l(tfracxa+raiztfracx^2a^2-1r)+C =lnl(x+raizx^2-a^2r)+C'

Passo 4

Verificação por derivação. Seja
F(x)=lnl(x+raizx^2pm a^2r)
Então
F'(x) =1x+raizx^2pm a^2 l(1+xraizx^2pm a^2r) =raizx^2pm a^2+x(x+raizx^2pm a^2)raizx^2pm a^2 =1raizx^2pm a^2!
Isso mostra que F'(x) é exatamente o integrando.

Resposta

integral dxraizx^2+a^2 =lnl|x+raizx^2+a^2r|+C, integral dxraizx^2-a^2 =lnl|x+raizx^2-a^2r|+C

Exercícios de Livros Relacionados