Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral d xa+sen x=2raiza^2-1 tg^-1(a tg x2+1raiza^2-1)+C, a>1

Passo 1

O enunciado pede para calcular e depois verificar por derivação a integral
integral dxa+sen x,, a>1
O truque clássico aqui é usar a substituição de Weierstrass, isto é, passar para t=tanx2, que transforma funções trigonométricas racionais num integrando racional em t.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = tanx2, dx = 2,dt1+t^2, sen x = 2t1+t^2
Logo o integrando fica
dxa+sen x = 2,dt1+t^2a + 2t1+t^2 = 2;dt,a(1+t^2)+2t,

Passo 3

No denominador fazemos completamento de quadrado:
a(1+t^2)+2t = al(t^2+tfrac2at+1r) = al[l(t+tfrac1ar)^2 + a^2-1a^2r]
Definindo
A^2 = a^2-1a^2, A = raiza^2-1a,
temos
a(1+t^2)+2t = al[(t+tfrac1a)^2 + A^2r]
Assim a integral torna-se
2integral dtal[(t+tfrac1a)^2+A^2r] = 2aintegral dt(t+tfrac1a)^2 + A^2

Passo 4

Reconhecemos a forma padrão
integral duu^2 + A^2 = 1Atan^-1!l(tfrac uAr).
Aqui u = t+tfrac1a, então
integral dt(t+tfrac1a)^2 + A^2 = 1A tan^-1!l(t+tfrac1aAr) + C
Multiplicando o fator tfrac2a e voltando a A=tfracraiza^2-1a, obtemos
2acdot1A = 2raiza^2-1, t+tfrac1aA = a,t+1raiza^2-1,
e finalmente, lembrando t=tanx2,
integral dxa+sen x = 2raiza^2-1 tan^-1!l(atanx2+1raiza^2-1r) + C

Passo 5

Para verificar, basta derivar o resultado e mostrar que devolve 1/(a+sen x). Usando a regra da cadeia em
I(x)=2raiza^2-1 tan^-1!l(u(x)r), u(x)=atanx2+1raiza^2-1,
e fazendo as contas com a derivada de tan^-1 e de tan(x/2), chega-se exatamente a 1a+sen x. Isso conclui a verificação.

Resposta

integral dxa+sen x = 2raiza^2-1 tan^-1!l(atanx2+1raiza^2-1r) + C, a>1

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