Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular e depois verificar por derivação a integral
O truque clássico aqui é usar a substituição de Weierstrass, isto é, passar para
, que transforma funções trigonométricas racionais num integrando racional em
.
Passo 2
Fazendo a substituição
Logo o integrando fica
Passo 3
No denominador fazemos completamento de quadrado:
Definindo
temos
Assim a integral torna-se
Passo 4
Reconhecemos a forma padrão
.
Aqui , então
Aqui
Multiplicando o fator
e voltando a
, obtemos
e finalmente, lembrando
,
Passo 5
Para verificar, basta derivar o resultado e mostrar que devolve
. Usando a regra da cadeia em
e fazendo as contas com a derivada de
e de
, chega-se exatamente a
. Isso conclui a verificação.