As funções cosh x (cosseno hiperbólico) e senh x (seno hiperbólico) são definidas pelas fórmulas:
cosh x=e^x+e^-x2, senh x=e^x-e^-x2
Traçar o gráfico dessas funções e o gráfico da função
tgh x=senh xcosh x
Mostrar que:
dd x senh x=cosh x,

Passo 1

O enunciado define as funções hiperbólicas
e pede para traçarmos os gráficos de , e
além de mostrarmos que
O conteúdo aqui é interpretação de gráficos a partir de propriedades de simetria e limites, e cálculo de derivada usando regras de derivação de exponenciais.

Passo 2

Gráfico de cosh x:
  • É função par, pois cosh(-x)=cosh x.
  • Tem mínimo em x=0, com cosh0=(e^0+e^0)/2=1.
  • Para xtopminfty, e^|x| domina e cosh xsim e^|x|/2, logo cresce exponencialmente.
    Assim o gráfico é uma “taça” voltada para cima, com vértice (0,1) e ramos exponenciais para xtopminfty.

Passo 3

Gráfico de :
  • É função ímpar, pois .
  • Passa pela origem, .
  • Para , cresce exponencialmente; para , decresce exponencialmente.
    O gráfico é uma curva crescente, com concavidade positiva para , atravessando a origem e simétrica ímparmente.

Passo 4

Gráfico de :
  • É função ímpar, .
  • Passa pela origem, .
  • Tem assíntotas horizontais em , pois para
É uma curva que sobe do (quando ) até (quando ), cruzando (0,0).

Passo 5

Derivada de :
Usando
, derivamos termo a termo:

Resposta

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