As funções
(cosseno hiperbólico) e
(seno hiperbólico) são definidas pelas fórmulas:
Traçar o gráfico dessas funções e o gráfico da função
Mostrar que:
,
Passo 1
O enunciado define as funções hiperbólicas
e pede para traçarmos os gráficos de
, e
além de mostrarmos que
O conteúdo aqui é interpretação de gráficos a partir de propriedades de simetria e limites, e cálculo de derivada usando regras de derivação de exponenciais.
Passo 2
Gráfico de
:
- É função par, pois
. - Tem mínimo em
, com . - Para
, domina e , logo cresce exponencialmente.
Assim o gráfico é uma “taça” voltada para cima, com vérticee ramos exponenciais para .
Passo 3
Gráfico de :
- É função ímpar, pois .
- Passa pela origem, .
- Para
, cresce exponencialmente; para , decresce exponencialmente.
O gráfico é uma curva crescente, com concavidade positiva para, atravessando a origem e simétrica ímparmente.
Passo 4
Gráfico de :
- É função ímpar, .
- Passa pela origem, .
- Tem assíntotas horizontais em
, pois para
É uma curva que sobe do
(quando
) até
(quando
), cruzando (0,0).
Passo 5
Derivada de :
Usando
, derivamos termo a termo:
Usando
, derivamos termo a termo: