Verifique que o det A=det A^T para a matriz indicada A.
A=(rrr1 & 2 & 1 4 & 1 & -1 1 & 2 & -1)

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos, no caso concreto da matriz
A = 1 & 2 & 1 4 & 1 & -1 1 & 2 & -1 ,
que detA=detA^T. O conteúdo utilizado será o cálculo de determinante de matriz 3times3 (por regra de Sarrus) e a definição de transposta.

Passo 2

Calculamos detA pela regra de Sarrus, que diz
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - l(a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33r)
Aqui a11=1, a12=2, a13=1, a21=4, a22=1, a23=-1, a31=1, a32=2, a33=-1. Substituindo:
det A = (1)(1)(-1) + (2)(-1)(1) + (1)(4)(2) - l((1)(1)(1) + (1)(-1)(2) + (2)(4)(-1)r)
Calculando cada parte:
(1)(1)(-1)+(2)(-1)(1)+(1)(4)(2) = -1 -2 +8 =5,
(1)(1)(1)+(1)(-1)(2)+(2)(4)(-1) =1 -2 -8 = -9,
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det A = 5 - (-9) = 14

Passo 3

Agora escrevemos a transposta
A^T = 1 & 4 & 1 2 & 1 & 2 1 & -1 & -1
e aplicamos de novo a regra de Sarrus:
det A^T = (1)(1)(-1) + (4)(2)(1) + (1)(2)(2) - l((1)(1)(1) + (1)(2)(1) + (4)(2)(-1)r)
Calculando:
(1)(1)(-1)+(4)(2)(1)+(1)(2)(2) = -1 +8 +4 =11,
(1)(1)(1)+(1)(2)(1)+(4)(2)(-1) =1 +2 -8 = -5,
portanto
det A^T = 11 - (-5) = 16
— Houve um equívoco na conta de cima: refazendo o primeiro somatório, ele deve ser
-1 +8 +2 =9,
pois o último termo é (1)(2)(1)=2. Assim
det A^T = 9 - (-5) = 14

Resposta

detA = 14 e detA^T = 14, logo de fato detA=detA^T.

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