Se o consumo familiar de um certo produto tem uma distribuição de probabilidade uniforme com esperança igual a 10 e variância igual a 1, determine a probabilidade de que o consumo esteja entre 8 e 12.

Passo 1

O enunciado diz que a variável aleatória X representa o consumo familiar e é distribuída uniformemente em [a,b] com
E[X]=10
e
Var(X)=1
Para resolver a questão, vamos usar as fórmulas da média e da variância da distribuição uniforme.

Passo 2

Pela média da uniforme temos
E[X]=a+b2=10
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a+b=20
Pela variância da uniforme temos
Var(X)=(b-a)^212=1
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(b-a)^2=12Longrightarrow b-a=2raiz3

Passo 3

Resolvendo o sistema
a+b=20, b-a=2raiz3,
somamos as equações para obter 2b=20+2raiz3, portanto
b=10+raiz3,
e subtraindo para obter 2a=20-2raiz3, portanto
a=10-raiz3

Passo 4

Queremos calcular
P(8<= X<=12)
Para XsimUniform(a,b) e um intervalo [c,d],
P(c<= X<= d)=min(b,d)-max(a,c)b-a
Aqui c=8 e d=12.

Passo 5

Observe que
a=10-raiz3approx8,27>8 e b=10+raiz3approx11,73<12,
então min(b,12)=b e max(a,8)=a. Assim
P(8<= X<=12) =b-ab-a =1

Resposta

1

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